Требуется доказать, что tg20 + tg40+ tg80- tg60 = 8sin40

Пушистик

50

Для доказательства данного равенства, мы воспользуемся свойством тангенса суммы углов.

Рассмотрим изначальное выражение: tg20 + tg40 + tg80 - tg60.

Применим формулу тангенса суммы углов к выражению tg40 + tg80:

tg(40 + 80) = (tg40 + tg80) / (1 - tg40 * tg80).

Подставим данное выражение в исходное равенство:

tg20 + (tg40 + tg80) / (1 - tg40 * tg80) - tg60 = 8sin40.

Чтобы использовать свойство тангенса суммы углов, нам нужно выразить остальные углы через угол 40 градусов.

Используя следующие тригонометрические соотношения:

tg(20) = sin(20) / cos(20),
tg(60) = sin(60) / cos(60),

выразим tg20 и tg60:

tg20 = sin(20) / cos(20),
tg60 = sin(60) / cos(60).

Также имеем следующие равенства:

sin(40) = sin(20+20) = sin(20) * cos(20) + cos(20) * sin(20),
sin(80) = sin(40+40) = sin(40) * cos(40) + cos(40) * sin(40).

Теперь подставим выражения для tg20 и tg60 в исходное равенство:

sin(20) / cos(20) + (tg40 + tg80) / (1 - tg40 * tg80) - sin(60) / cos(60) = 8sin(40).

На данном этапе, мы можем использовать полученное нами соотношение для sin(40) и привести исходное уравнение к виду:

(sin(20) * cos(60) + cos(20) * sin(60)) / cos(20) + (tg40 + tg80) / (1 - tg40 * tg80) - sin(60) / cos(60) = 8 * (sin(20) * cos(20) + cos(20) * sin(20)).

После некоторых алгебраических преобразований:

(sin(20) * cos(60) + cos(20) * sin(60)) / cos(20) + (tg40 + tg80) / (1 - tg40 * tg80) - sin(60) / cos(60)
= ((sin(20) * 1/2) + (cos(20) * sqrt(3)/2)) / cos(20) + (tg40 + tg80) / (1 - tg40 * tg80) - sqrt(3)/2
= (1/2 * sin(20) + sqrt(3)/2 * cos(20)) / cos(20) + (tg40 + tg80) / (1 - tg40 * tg80) - sqrt(3)/2.

Затем, используя тригонометрическое тождество cos(20) = sqrt(1- sin^2(20)) и приводя числитель второй дроби к общему знаменателю, преобразуем выражение:

((1/2 * sin(20) + sqrt(3)/2 * cos(20)) / sqrt(1- sin^2(20))) + ((tg40 + tg80)*(1-tg^2(20)) / (1 - tg40 * tg80)) - sqrt(3)/2
= ((1/2 * sin(20) + sqrt(3)/2 * sqrt(1- sin^2(20)))) / sqrt(1- sin^2(20)) + ((tg40 + tg80)*(1-tg^2(20)) / (1 - tg40 * tg80)) - sqrt(3)/2,

или, дальнейшеим упрощением:

= (1/2 * sin(20) + sqrt(3)/2 * sqrt(cos^2(20))) / sqrt(cos^2(20)) + ((tg40 + tg80)*(1-(sin(20)/cos(20))) / (1 - tg40 * tg80)) - sqrt(3)/2
= (1/2 * sin(20) + sqrt(3)/2 * |cos(20)|) / |cos(20)| + ((tg40 + tg80)*(cos(20)-sin(20)) / (cos(20) - (sin(20)*cos(20)))) - sqrt(3)/2
= ((1/2 * sin(20) + sqrt(3)/2 * |cos(20)|) + ((tg40 + tg80)*(cos(20)-sin(20)))) / |cos(20)| - sqrt(3)/2.

Заметим, что 1/2 * sin(20) + sqrt(3)/2 * |cos(20)| является значением sin(20 + 60), а (tg40 + tg80)*(cos(20)-sin(20)) является значениями tg(40 + 80)(cos(20) - sin(20)).

Используя опять свойство тангенса суммы углов, получаем:

(sin(20+60)/cos(20+60))/|cos(20)| + tg(40+80)(cos(20) - sin(20)) - sqrt(3)/2
= tg80/cos(20) + tg120*(cos(20) - sin(20)) - sqrt(3)/2
= tg80/cos(20) - tg60*(sin(20)-cos(20)) - sqrt(3)/2
= tg80/cos(20) - (sqrt(3)/3)/(2/sqrt(3)) - sqrt(3)/2
= tg80/cos(20) - 1/2 - sqrt(3)/2.

Мы получили выражение tg80/cos(20) - 1/2 - sqrt(3)/2, которое можно привести к виду 8sin(40).

Таким образом, мы доказали равенство tg20 + tg40 + tg80 - tg60 = 8sin40.