1. Каково распределение числа светофоров, которые автомобиль встретит по пути к месту назначения, если каждый светофор

Красавчик

12

Задача 1:

Чтобы распределить число светофоров, которые автомобиль встретит по пути к месту назначения, сначала нам нужно определить вероятность, с которой автомобиль будет пропускаться каждым светофором.

По условию задачи, вероятность пропуска автомобиля каждым светофором составляет 1/3.

Следовательно, вероятность НЕ пропуска автомобиля каждым светофором составит 1 - 1/3 = 2/3.

Теперь рассмотрим последовательность светофоров, которые автомобиль встретит. Пусть X будет случайной величиной, представляющей количество светофоров, которые автомобиль встретит.

X может принимать значения от 0 до бесконечности.

Вероятность того, что автомобиль не встретит ни одного светофора (X = 0), составляет вероятность того, что он пройдет каждый светофор с вероятностью 2/3:

P(X = 0) = (2/3)^0 * (1/3)^{0+1} = 1 * 1/3 = 1/3.

Вероятность того, что автомобиль встретит ровно один светофор (X = 1), составляет вероятность того, что он пройдет первый светофор с вероятностью 2/3, а последующие светофоры - с вероятностью 1/3:

P(X = 1) = (2/3)^1 * (1/3)^{1+1} = 2/3 * 1/9 = 2/27.

Аналогично, мы можем рассчитать вероятности для всех других значений X.

Вот таблица с вероятностями:

X | P(X)
---------
0 | 1/3
1 | 2/27
2 | 4/243
3 | 8/2187

и так далее.

Зная вероятности для каждого значения X, мы можем построить полигон распределения:

\[P(X = 0) = \frac{1}{3}\]
\[P(X = 1) = \frac{2}{27}\]
\[P(X = 2) = \frac{4}{243}\]
\[P(X = 3) = \frac{8}{2187}\]
...

Теперь давайте построим функцию распределения и ее график.

Функция распределения (CDF) определяется как сумма вероятностей для каждого значения X и всех предшествующих значениях:

F(X) = P(X ≤ x), где x - значение переменной X.

Таким образом, CDF будет выглядеть следующим образом:

\[F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0) = \frac{1}{3}\]
\[F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{1}{3} + \frac{2}{27} = \frac{11}{27}\]
\[F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{1}{3} + \frac{2}{27} + \frac{4}{243} = \frac{140}{243}\]
\[F(3) = P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{1}{3} + \frac{2}{27} + \frac{4}{243} + \frac{8}{2187} = \frac{503}{2187}\]

и так далее.

Мы можем построить график функции распределения, где по оси X будут значения X, а по оси Y значения функции распределения:

\[F(X) = \left\{\begin{matrix}
0 & \text{для } X<0\\
1/3 & \text{для }0 \leq X <1\\
11/27 & \text{для }1 \leq X <2\\
140/243 & \text{для }2 \leq X <3\\
503/2187 & \text{для }3 \leq X <4\\
\ldots & \ldots
\end{matrix}\right.\]

Таким образом, мы построили полигон распределения и график функции распределения для данной задачи.

Задача 2:

У дежурного имеется 7 разных ключей от 7 разных комнат. После случайного выбора ключа, он пробует открыть дверь одной из комнат. Здесь мы хотим узнать распределение числа попыток, необходимых для открытия двери.

Пусть X будет случайной величиной, представляющей количество попыток, необходимых для открытия двери.

В данном случае, X может принимать значения от 1 до 7.

Вероятность открытия двери с первой попытки составляет 1/7, так как только один ключ будет открывать дверь из 7 доступных ключей.

Следовательно, P(X = 1) = 1/7.

Вероятность того, что ключ, выбранный наугад, не откроет дверь с первой попытки, но откроет ее со второй попытки, составляет (6/7) * (1/6) = 1/7, так как потребуется другой ключ для открытия двери.

Таким же образом можно указать и вероятности для всех остальных значений X:

P(X = 2) = (6/7) * (1/6) = 1/7
P(X = 3) = (6/7) * (5/6) * (1/5) = 1/7
...
P(X = 7) = (6/7) * (5/6) * (4/5) * (3/4) * (2/3) * (1/2) = 1/7

Мы можем построить полигон распределения, указав эти вероятности:

\[P(X = 1) = \frac{1}{7}\]
\[P(X = 2) = \frac{1}{7}\]
\[P(X = 3) = \frac{1}{7}\]
\[P(X = 4) = \frac{1}{7}\]
\[P(X = 5) = \frac{1}{7}\]
\[P(X = 6) = \frac{1}{7}\]
\[P(X = 7) = \frac{1}{7}\]

Теперь давайте построим функцию распределения и ее график.

Функция распределения (CDF) будет выглядеть следующим образом:

\[F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 1) = \frac{1}{7}\]
\[F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{2}{7}\]
\[F(3) = P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{3}{7}\]
\[F(4) = P(X ≤ 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = \frac{4}{7}\]
\[F(5) = P(X ≤ 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = \frac{5}{7}\]
\[F(6) = P(X ≤ 6) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = \frac{6}{7}\]
\[F(7) = P(X ≤ 7) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1\]

Мы можем построить график функции распределения, где по оси X будут значения X, а по оси Y значения функции распределения:

\[F(X) = \left\{\begin{matrix}
0 & \text{для } X<1\\
1/7 & \text{для }1 \leq X <2\\
2/7 & \text{для }2 \leq X < 3\\
3/7 & \text{для }3 \leq X <4\\
\ldots & \ldots
\end{matrix}\right.\]