Яка довжина бічної сторони трапеції з основами 15 см і 9 см, якщо один з кутів дорівнює 135 градусам?

Валерия

21

Щоб знайти довжину бічної сторони трапеції, спочатку треба визначити, яку саме бічну сторону ми шукаємо. У трапеції є дві бічні сторони: бічна сторона, що паралельна основам, і бічна сторона, що не паралельна основам.

Задача вже вказує, що кут між однією з основ і бічною стороною трапеції дорівнює 135 градусам. Оскільки трапеція не є прямокутною, ми не можемо одразу визначити всі бокові кути. Проте, ми можемо використати відповідність кутів, щоби знайти інший внутрішній кут.

Відповідно до властивості кутів при паралельних прямих, внутрішні кути, утворені однією і тією ж поперечною прямою, є взаємно доповнені. З цього випливає, що якщо один кут дорівнює 135 градусам, то другий кут між бічною стороною і другою основою трапеції буде дорівнювати \(180° - 135° = 45°\).

Тепер ми знаємо, що у нас є трапеція з однією основою довжиною 15 см і другою основою довжиною 9 см, а також кутом між однією з основ і бічною стороною, який дорівнює 135 градусам. Щоб знайти довжину бічної сторони трапеції, ми можемо скористатися теоремою косинусів.

Запишемо теорему косинусів для трикутника, утвореного однією з основ та бічною стороною трапеції і другою основою:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
де \(c\) - довжина бічної сторони трапеції (що нас цікавить), \(a\) - довжина однієї з основ трапеції (15 см), \(b\) - довжина другої основи трапеції (9 см), \(C\) - кут між основами трапеції (45 градусів).

Підставимо відомі значення і вирішимо рівняння:
\[c^2 = 15^2 + 9^2 - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \cos(45°)\]
\[c^2 = 225 + 81 - 270 \cdot \cos(45°)\]
\[c^2 = 306 - 270 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[c^2 = 306 - 270 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 236.01\]
\[c \approx \sqrt{236.01} \approx 15.36\]

Отже, довжина бічної сторони трапеції становить приблизно 15.36 см.