Яка довжина бічної сторони трапеції з основами 15 см і 9 см, якщо один з кутів дорівнює 135 градусам?

Валерия

21

Щоб знайти довжину бічної сторони трапеції, спочатку треба визначити, яку саме бічну сторону ми шукаємо. У трапеції є дві бічні сторони: бічна сторона, що паралельна основам, і бічна сторона, що не паралельна основам.

Задача вже вказує, що кут між однією з основ і бічною стороною трапеції дорівнює 135 градусам. Оскільки трапеція не є прямокутною, ми не можемо одразу визначити всі бокові кути. Проте, ми можемо використати відповідність кутів, щоби знайти інший внутрішній кут.

Відповідно до властивості кутів при паралельних прямих, внутрішні кути, утворені однією і тією ж поперечною прямою, є взаємно доповнені. З цього випливає, що якщо один кут дорівнює 135 градусам, то другий кут між бічною стороною і другою основою трапеції буде дорівнювати $180°-135°=45°$.

Тепер ми знаємо, що у нас є трапеція з однією основою довжиною 15 см і другою основою довжиною 9 см, а також кутом між однією з основ і бічною стороною, який дорівнює 135 градусам. Щоб знайти довжину бічної сторони трапеції, ми можемо скористатися теоремою косинусів.

Запишемо теорему косинусів для трикутника, утвореного однією з основ та бічною стороною трапеції і другою основою:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$
де $c$ - довжина бічної сторони трапеції (що нас цікавить), $a$ - довжина однієї з основ трапеції (15 см), $b$ - довжина другої основи трапеції (9 см), $C$ - кут між основами трапеції (45 градусів).

Підставимо відомі значення і вирішимо рівняння:
$$c^2={15}^2+9^2-2\cdot 15\cdot 9\cdot \cos (45°)$$
$$c^2=225+81-270\cdot \cos (45°)$$
$$c^2=306-270\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$c^2=306-270\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 236.01$$
$$c\approx \sqrt{236.01}\approx 15.36$$

Отже, довжина бічної сторони трапеції становить приблизно 15.36 см.