Яка довжина діагоналей паралелограма, якщо одна сторона становить 7 см, а інша - 4 см, а кут між ними дорівнює 120°?

Елена_3811

11

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов. Она позволяет найти длину третьей стороны треугольника, если известны длины двух сторон и угол между ними.

Давайте обозначим стороны параллелограма как \(a = 7\) см и \(b = 4\) см. Угол между этими сторонами равен 120°.

Теперь мы можем применить теорему косинусов. В этом случае, диагональ параллелограма будет являться третьей стороной треугольника, а стороны параллелограма будут двумя остальными сторонами.

Теорема косинусов может быть записана следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - третья сторона, \(a\) и \(b\) - известные стороны, \(C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

Подставим значения в формулу:

\[c^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \cos(120°)\]

Вычислим значения внутри скобок:

\[c^2 = 49 + 16 - 56 \cdot \cos(120°)\]

Теперь вычислим значение для \(\cos(120°)\). Угол 120° соответствует третьему квадранту, где косинус отрицательный:

\[\cos(120°) = -\frac{1}{2}\]

Подставим значение обратно в формулу:

\[c^2 = 49 + 16 - 56 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

Вычислим значения:

\[c^2 = 49 + 16 + 28\]

\[c^2 = 93\]

Найдем квадратный корень из обоих сторон уравнения:

\[c = \sqrt{93}\]

Таким образом, длина диагонали параллелограма составляет \(\sqrt{93}\) см.

Мы использовали теорему косинусов для вычисления длины диагонали параллелограма, а затем привели выражение к более упрощенному виду и вычислили окончательный результат. Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять процесс решения задачи.