Яка довжина дуги АВ кола, яке описується навколо рівностороннього трикутника АВС зі стороною довжиною 6см? Яка довжина

Iskander

67

Для решения данной задачи необходимо знать некоторые свойства и формулы, связанные с описанными окружностями вокруг равносторонних треугольников.

1. Для начала найдем радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому сторона \(AB\) равна 6 см. Зная, что равносторонний треугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, мы заметим, что это малые равносторонние треугольники формируют шестиугольник, описанный около большого равностороннего треугольника. Диагональ этого шестиугольника является диаметром окружности, описанной вокруг большого треугольника, поэтому радиус этой окружности равен половине длины стороны шестиугольника, т.е. \(6 \, \text{см} / 2 = 3 \, \text{см}\).

2. Теперь мы можем найти длину дуги \(AB\) кола, описанного вокруг равностороннего треугольника \(ABC\). Длина дуги равна произведению длины всей окружности (которая равна \(2 \pi r\)) и части, которую дуга занимает на окружности (в данном случае равно \(120^\circ / 360^\circ\), так как треугольник \(ABC\) является третью частью окружности). Подставляя значения, получаем:
\[
\text{Длина дуги } AB = 2 \pi r \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 2 \pi \cdot 3 \, \text{см} \cdot \frac{1}{3} = 2 \pi \, \text{см}.
\]

3. Аналогично, можно найти длину дуги \(BC\) и \(AC\) кола, описанного вокруг равностороннего треугольника \(ABC\). Так как окружность имеет радиус 3 см, длины дуг \(BC\) и \(AC\) будут равны:
\[
\text{Длина дуги } BC = 2 \pi \, \text{см},
\]
\[
\text{Длина дуги } AC = 2 \pi \, \text{см}.
\]

Таким образом, длина дуги \(AB\) кола, описанного вокруг равностороннего треугольника \(ABC\) с длиной стороны 6 см, равна \(2 \pi\) см, а длины дуг \(BC\) и \(AC\) также равны \(2 \pi\) см.