Найти: Каков объем прямой призмы с прямоугольным основанием, где гипотенуза треугольника равна 2 и угол между

Zagadochnyy_Zamok

26

Хорошо! Давайте решим эту задачу.

Для начала, давайте обозначим данную прямую призму. Пусть основание прямой призмы - это прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза.

Также, пусть AD - диагональ большей боковой грани прямой призмы, а плоскость основания обозначим как плоскость OXY, где O - точка пересечения основания и диагонали, а X и Y - точки на диагонали AD.

По условию, гипотенуза треугольника AC равна 2 и угол между диагональю AD и плоскостью основания равен 45°.

Итак, мы хотим найти объем прямой призмы. Объем прямой призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту.

Шаг 1: Найдем площадь основания.
Поскольку основание - прямоугольный треугольник ABC, площадь основания можно найти по формуле:
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC\]

Шаг 2: Найдем высоту прямой призмы.
Высота прямой призмы - это расстояние между плоскостью основания OXY и диагональю AD. Для того чтобы найти высоту, нам понадобится триангуляция прямоугольного треугольника AOY.

Шаг 2.1: Найдем длины сторон треугольника AOY.
Так как треугольник AOY - является прямым, то мы можем использовать теорему Пифагора:
\[AO^2 = OY^2 + AY^2\]
\[OY = AB = BC\] по условию задачи.

Шаг 2.2: Найдем высоту прямой призмы.
Высота прямой призмы равна разности длин гипотенузы треугольника AOY и длины диагонали AD:
\[h = AC - AO\]
\[h = 2 - OY\]

Шаг 3: Найдем объем прямой призмы.
Объем прямой призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту:
\[V = S_{\text{основания}} \cdot h\]

Теперь, когда у нас есть все формулы, давайте решим задачу, подставив все известные значения и выполним вычисления.