Яка є довжина дуги кола з радіусом 1, що відповідає сектору з площею п/2?

Степан

65

Дано: Радіус кола \(r = 1\), площа сектора \(S = \frac{\pi}{2}\).

Ми хочемо знайти довжину дуги кола, що відповідає цьому сектору.

Довжина дуги кола може бути виражена через центральний кут сектора та радіус. Формула для цього:

\[L = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360}\], де \(\theta\) - центральний кут в градусах.

Оскільки нам відома площа сектора, ми можемо знайти центральний кут сектора, використовуючи формулу площі сектора:

\[S = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2\]

Підставивши відомі значення, отримаємо:

\[\frac{\pi}{2} = \frac{\theta}{360} \cdot \pi \cdot 1^2\]

Спростивши це рівняння, ми отримуємо:

\[\frac{\pi}{2} = \frac{\theta}{360} \cdot \pi\]

Звідси, можна скасувати один множник \(\pi\) та помножити обидві сторони на \(\frac{360}{\pi}\):

\[\theta = \frac{360}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 180\]

Таким чином, отримуємо, що центральний кут сектора дорівнює 180 градусам.

Підставивши значення радіуса \(r\) та центрального кута в формулу для довжини дуги кола, отримаємо:

\[L = 2\pi \cdot 1 \cdot \frac{180}{360} = \pi\]

Отже, довжина дуги кола, що відповідає сектору з площею \(\frac{\pi}{2}\), дорівнює \(\pi\).