Яка довжина кожного катета прямокутного трикутника, якщо відомо, що сума їх довжин дорівнює 17 см, а гіпотенуза
Яка довжина кожного катета прямокутного трикутника, якщо відомо, що сума їх довжин дорівнює 17 см, а гіпотенуза має довжину 13 см?
Sabina 46
Для решения этой задачи, давайте обозначим длину первого катета через \(x\) и длину второго катета через \(y\). Мы знаем, что сумма длин катетов равна 17 см, то есть у нас есть уравнение:\[x + y = 17\]
Также, нам известно, что длина гипотенузы равна некоторому значению. Давайте обозначим длину гипотенузы через \(z\).
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора верно, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Из этого следует уравнение:
\[x^2 + y^2 = z^2\]
Теперь у нас есть система уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 17 \\
x^2 + y^2 = z^2
\end{cases}
\]
Чтобы найти длину каждого катета, мы можем использовать метод замены или сведения квадратичного уравнения к линейному. Давайте продолжим с пошаговым решением.
---------------------------
Пусть для удобства найдем катеты в следующем виде:
\[x = 17 - y\]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[(17 - y)^2 + y^2 = z^2\]
Раскроем скобки:
\[289 - 34y + y^2 + y^2 = z^2\]
\[2y^2 - 34y + 289 = z^2\]
Это уравнение второй степени, и для нахождения ответа нам нужно знать значение длины гипотенузы \(z\). Если у нас будет значение \(z\), мы сможем решить это уравнение и найти длины катетов \(x\) и \(y\) с точностью до знака.