Яка довжина найкоротшої сторони трикутника, якщо протилежна йому сторона, утворює кут 60 градусів і має довжину

Солнечный_Свет

30

Щоб знайти довжину найкоротшої сторони трикутника, нам потрібно вирішити наступну задачу. Нехай сторона, протилежна найкоротшій стороні трикутника, має довжину 4 одиниці і утворює кут 60 градусів.

За теоремою синусів, ми можемо записати наступне співвідношення:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

де \(a\), \(b\), і \(c\) - сторони трикутника, а \(A\), \(B\), і \(C\) - відповідні кути.

Оскільки шукаємо довжину найкоротшої сторони, позначимо цю сторону як \(a\). Також, оскільки бісектриса розділяє цю сторону на два відрізки, один з яких дорівнює \(x\), то другий відрізок має довжину \(a-x\).

Таким чином, ми маємо наступні відомі дані:

\(b = 4\) (довжина сторони, протилежної найкоротшій стороні)
\(B = 60^{\circ}\) (кут, утворений стороною \(b\))
\(a = x + (a-x)\) (сума двох довжин відрізків, на які розділила бісектриса сторону)
\(C = 90^{\circ}\) (внутрішній кут трикутника)

Тепер ми можемо застосувати теорему синусів для знаходження найкоротшої сторони. Підставимо відомі значення в співвідношення:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]

\[\frac{a}{\sin 90^{\circ}} = \frac{4}{\sin 60^{\circ}}\]

Оскільки \(\sin 90^{\circ} = 1\) та \(\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), отримаємо:

\[a = 4 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Отже, найкоротша сторона трикутника має довжину \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\) одиниць.