Яка довжина похилої, якщо перпендикуляр, проведений до прямої, має довжину 8 см і вона на 4 см більша за довжину

Пуфик

68

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами подобных треугольников.

Обозначим длину похилой за \(x\) см. Также обозначим длину проекции похилой на прямую за \(y\) см.

Из условия задачи у нас есть два факта:
1. Перпендикуляр, проведенный к прямой, имеет длину 8 см, что соответствует \(y = 8\) см.
2. Длина похилой больше длины её проекции на прямую на 4 см, что в математической форме можно записать как \(x = y + 4\).

Рассмотрим треугольники, образованные этими сторонами: треугольник, образованный похилой, проекцией и перпендикуляром.

Мы видим, что эти треугольники подобны (оба прямоугольные, и они имеют общий угол между ними). Из свойств подобных треугольников, соотношение между сторонами подобных прямоугольных треугольников равно отношению гипотенузы к катету.

Таким образом, у нас будет следующее уравнение, основанное на подобии треугольников:

\[\frac{x}{y} = \frac{y}{8}\]

Подставляя значение \(x = y + 4\) и \(y = 8\), мы можем решить это уравнение и найти \(x\).

\[\frac{y + 4}{y} = \frac{8}{y}\]
\[y^2 + 4y = 8 \cdot 8\]
\[y^2 + 4y = 64\]
\[y^2 + 4y - 64 = 0\]

Далее решим это квадратное уравнение и найдем значение \(y\).

\[\Delta = 16 + 4 \cdot 64 = 16 + 256 = 272\]

\[y_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{272}}{2} = \frac{-4 \pm 16.49}{2}\]

Так как длина не может быть отрицательной, выберем корень, ближайший к нулю:

\[y \approx \frac{-4 + 16.49}{2} \approx \frac{12.49}{2} \approx 6.245\]

Теперь, найдем \(x\):

\[x = y + 4 = 6.245 + 4 = 10.245\]

Итак, общая длина похилой составляет приблизительно 10.245 см.