Яка довжина радіуса кулі (у см), якщо її перетнули площиною, що знаходиться на відстані 12 см від центру, і площа

Zvezdnyy_Pyl

15

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой для площади круга и формулой для периметра окружности.

Для начала, воспользуемся формулой для площади круга:

\[ S = \pi \cdot r^2\]

где S - площадь круга, а r - радиус круга.

Мы знаем, что площадь отрезка, который образуется плоскостью при пересечении сферы, составляет некоторую величину. Давайте обозначим эту величину как S1.

Теперь, пользуясь информацией из условия задачи, мы можем записать уравнение для площади отрезка:

\[ S1 = \pi \cdot r^2\]

Также в условии задачи говорится, что плоскость проходит на расстоянии 12 см от центра сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу минус 12 см:

\[ r - 12 = \text{расстояние от центра до плоскости} \]

Из данных условия, нам известно, что площадь пересечения составляет S1. Тогда мы можем записать площадь пересечения (S1) в виде:

\[ S1 = \pi \cdot (r - 12)^2 \]

Теперь у нас есть два уравнения для площади пересечения: одно из уравнения для полной площади круга, а другое получено из условия задачи и связывает площадь пересечения с радиусом.

Мы можем решить эту систему уравнений методом замены или методом сложения/вычитания. Но это может оказаться довольно сложным и необходимым шагом для школьника.

К счастью, с помощью математических программ исключены вычисления, связанные с системой уравнений. Подставим выражение для \(S1\) из второго уравнения в первое уравнение и получим:

\[ \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (r - 12)^2 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (r^2 - 24r + 144) \]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону и получим:

\[ \pi \cdot r^2 - \pi \cdot r^2 + 24\pi \cdot r - 144\pi = 0 \]

Упростим выражение:

\[ 24\pi \cdot r - 144\pi = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель:

\[ 24\pi \cdot (r - 6) = 0 \]

Так как \(\pi\) не равно нулю, мы можем записать:

\[ r - 6 = 0 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ r = 6 \]

Итак, радиус кули равен 6 см.