Яка довжина сторони квадрата, через яке проходить коло і дотикається до паралельної сторони, якщо його периметр

Артемий

26

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться некоторыми свойствами квадрата и окружности.

Давайте начнем с определения периметра квадрата. Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон, которые, в свою очередь, являются равными друг другу. Обозначим длину стороны квадрата как \(x\) (где \(x\) - искомая длина стороны).

Таким образом, периметр квадрата составит:
\[P = 4x\]

Согласно условию задачи, периметр квадрата равен 20п. Подставив это значение в уравнение периметра, получим:
\[4x = 20\]

Теперь найдем радиус окружности, описанной около этого квадрата. Радиус окружности равен половине длины ее диаметра. В нашем случае, диаметр окружности будет равен стороне квадрата \(x\), а следовательно, радиус окружности будет равен:
\[r = \frac{x}{2}\]

Также, в условии указано, что окружность касается параллельной стороны квадрата. Это означает, что точка касания окружности и стороны квадрата лежит на прямой, параллельной другой стороне квадрата.

Теперь, чтобы найти длину стороны квадрата, через который проходит окружность и касается параллельной стороны, мы можем воспользоваться свойством тангенса треугольника. В треугольнике, образованном стороной квадрата, радиусом окружности и линией, соединяющей точку касания и центр окружности, выполняется следующее соотношение:

\[\tan(\angle E) = \frac{{r}}{{x}}\]

где \(E\) - точка касания окружности и стороны квадрата.

Используем эту формулу для определения длины стороны квадрата \(x\).
\[x = \frac{{r}}{{\tan(\angle E)}}\]

Теперь у нас есть два уравнения, связанных с длиной стороны квадрата и радиусом окружности. Мы можем объединить эти уравнения и решить их одновременно:

\[4x = 20\]
\[x = \frac{{r}}{{\tan(\angle E)}}\]

Подставим второе уравнение в первое:
\[4 \cdot \frac{{r}}{{\tan(\angle E)}} = 20\]

Теперь найдем значение \(r\) и \(\angle E\).

Обратимся к треугольнику, образованному радиусом окружности, линией, соединяющей точку касания и центр окружности, и горизонтальной прямой, проходящей через точку касания. Очевидно, что данные линии образуют прямоугольный треугольник.

Воспользуемся определением тангенса:

\[\tan(\angle E) = \frac{{r}}{{h}}\]

где \(h\) - расстояние от центра окружности до параллельной стороны квадрата.

Обозначим данную длину \(h\), и воспользуемся вторым уравнением, чтобы выразить \(x\) через \(h\).
\[x = \frac{{r}}{{\tan(\angle E)}} = \frac{{r}}{{\frac{{r}}{{h}}}} = h\]

Таким образом, мы можем заменить \(x\) на \(h\) в первом уравнении:
\[4h = 20\]

Решив это уравнение, получим значение для \(h\):
\[h = \frac{{20}}{{4}} = 5\]

Теперь, когда мы знаем значение высоты \(h\), мы можем рассчитать значение для радиуса \(r\):
\[r = h = 5\]

Таким образом, мы получили, что сторона квадрата, через который проходит окружность и касается параллельной стороны, равна 5 пунктам, а радиус окружности составляет 5 пунктов.