Яка довжина сторони квадрата, вписаного в дане коло, якщо площа правильного трикутника, описаного навколо цього кола

Kuznec

44

Для решения данной задачи, мы должны использовать связь между радиусом окружности и стороной квадрата, вписанного в эту окружность.

Давайте обозначим сторону квадрата через \(a\) и радиус окружности через \(r\).

Площадь правильного треугольника описанного вокруг окружности можно выразить следующей формулой:

\[S_{\text{тр}} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

Площадь треугольника равна \(54\sqrt{3}\) см², поэтому:

\[\frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = 54\sqrt{3}\]

Для упрощения выражения, мы можем сократить \(\sqrt{3}\) с обеих сторон, получив:

\[\frac{3}{4} \cdot a^2 = 54\]

Умножим обе стороны на \(\frac{4}{3}\), чтобы избавиться от коэффициента перед \(a^2\):

\[a^2 = 72\]

Чтобы найти значение \(a\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[a = \sqrt{72}\]

Теперь найдем точное значение квадратного корня:

\[a \approx 8.485\]

Таким образом, длина стороны квадрата, вписанного в данную окружность, приближенно равна 8.485 см.