Яка довжина сторони основи цієї піраміди, якщо її висота дорівнює 24 та кут між апофемою та площиною основи становить

Единорог

41

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрические свойства пирамиды. Давайте рассмотрим пирамиду с заданными параметрами.

Мы имеем пирамиду, у которой высота равна 24 и угол между апофемой и плоскостью основания составляет 45 градусов.

Первым шагом в решении задачи будет нахождение длины апофемы пирамиды. Апофема - это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания.

Мы знаем, что при вершинном угле пирамиды (угол между апофемой и ребром основания) равным 90 градусов, апофема является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота пирамиды - это его катет. Так как у нас угол между апофемой и основанием составляет 45 градусов, то у нас имеется прямоугольный треугольник с углом 45 градусов.

Чтобы найти длину апофемы, мы можем использовать тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника. Для этого воспользуемся тангенсом угла 45 градусов.

\[\tan(45^\circ) = \frac{\text{катет противоположный углу 45 градусов}}{\text{катет прилегающий к углу 45 градусов}}\]

Так как катет прилегающий к углу 45 градусов равен высоте пирамиды и составляет 24, то мы можем записать:

\[\tan(45^\circ) = \frac{\text{катет противоположный углу 45 градусов}}{24}\]

Поскольку в прямоугольном треугольнике противоположные катеты равны, то мы можем записать:

\[\tan(45^\circ) = \frac{\text{апофема}}{24}\]

Теперь мы можем найти значение тангенса угла 45 градусов, которое равно 1. Таким образом, получаем:

\[1 = \frac{\text{апофема}}{24}\]

Чтобы найти длину апофемы, умножаем обе части уравнения на 24:

\[24 = \text{апофема}\]

Итак, длина апофемы равна 24.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник, образованный апофемой и одной из сторон основания пирамиды. Так как дано, что угол между апофемой и плоскостью основания составляет 45 градусов, то получаем прямоугольный треугольник с углом 45 градусов.

Для нахождения длины стороны основания, нам нужно использовать тригонометрическое соотношение для тангенса угла 45 градусов:

\[\tan(45^\circ) = \frac{\text{катет противоположный углу 45 градусов}}{\text{катет прилегающий к углу 45 градусов}}\]

Так как катет прилегающий к углу 45 градусов равен половине основания пирамиды, то мы можем записать:

\[\tan(45^\circ) = \frac{\text{сторона основания}}{\frac{1}{2}\text{сторона основания}}\]

Поскольку в прямоугольном треугольнике противоположные катеты равны, то мы можем записать:

\[\tan(45^\circ) = \frac{\text{апофема}}{\frac{1}{2}\text{сторона основания}}\]

Теперь мы можем подставить известные значения в уравнение:

\[1 = \frac{24}{\frac{1}{2}\text{сторона основания}}\]

Для упрощения дальнейших вычислений, домножим обе части уравнения на \(\frac{1}{2}\text{сторона основания}\):

\[\frac{1}{2}\text{сторона основания} = 24\]

Домножаем обе части уравнения на \(\frac{2}{1}\), чтобы избавиться от дроби:

\[\text{сторона основания} = 24 \times \frac{2}{1} = 48\]

Таким образом, длина стороны основания пирамиды равна 48.