1. Необходимо изменить текст вопроса так, чтобы сохранить его смысл и объем. Каков острый угол между диагоналями

Morskoy_Korabl_7606

28

Задача 1:
Для решения данной задачи, нам необходимо найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на двух единичных векторах \(m\) и \(n\), между которыми угол составляет 120°.

Для начала, обратимся к геометрической интерпретации векторного произведения. Векторное произведение двух векторов равно площади параллелограмма, построенного на данных векторах. Поскольку параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине, то диагонали такого параллелограмма делятся пополам и являются его диагоналями.

Теперь воспользуемся формулой для векторного произведения двух векторов: \(\vec{a} \times \vec{b} = ab \cdot \sin{\theta} \cdot \vec{n}\), где \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - векторы, \(ab\) - модуль векторного произведения, \(\theta\) - угол между векторами, \(\vec{n}\) - единичный вектор, перпендикулярный плоскости образованной векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Для нахождения проекции вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\), используем формулу: \(\vec{b}_{\text{пр}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\), где \(\vec{b}_{\text{пр}}\) - искомая проекция вектора \(\vec{b}\), \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Теперь решим задачу.

1. Найдем вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):
Поскольку между векторами угол составляет 120°, можно использовать тригонометрические соотношения для нахождения компонентов векторов. Рассмотрим треугольник, образованный векторами \(\vec{m}\), \(\vec{n}\) и их суммой \(\vec{a}\).

Угол между векторами \(\vec{m}\) и \(\vec{a}\) можно найти с помощью формулы: \(\vec{m} \cdot \vec{a} = |\vec{m}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos{\alpha}\), где \(\alpha\) - искомый угол.
Подставим известные значения: \(\vec{m} \cdot \vec{a} = |m| \cdot |a| \cdot \cos{120°} = 1 \cdot |\vec{a}| \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\).
Отсюда находим: \(\vec{m} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\).
Также, известно, что \(\vec{m} \cdot \vec{a} = |\vec{m}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos{\alpha} = 1 \cdot |\vec{a}| \cdot \cos{\alpha}\).
Подставим значение \(\vec{m} \cdot \vec{a}\): \(|\vec{a}| \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = |\vec{a}| \cdot \cos{\alpha}\).
Отсюда получаем: \(-\frac{1}{2} = \cos \alpha\), что приводит к углу \(\alpha = 120°\).

Таким образом, компоненты вектора \(\vec{m}\) будут: \(\vec{m} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\).

Аналогично, находим компоненты вектора \(\vec{n}\):
Угол между векторами \(\vec{n}\) и \(\vec{a}\) равен 120°, поэтому угол \(\beta\) между ними можно найти по формуле: \(\vec{n} \cdot \vec{a} = |\vec{n}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos{\beta}\).
Подставляем известные значения: \(\vec{n} \cdot \vec{a} = |n| \cdot |a| \cdot \cos{120°} = 1 \cdot |\vec{a}| \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\).
Отсюда находим: \(\vec{n} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\).
Также, известно, что \(\vec{n} \cdot \vec{a} = |\vec{n}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos{\beta} = 1 \cdot |\vec{a}| \cdot \cos{\beta}\).
Подставляем значение \(\vec{n} \cdot \vec{a}\): \(|\vec{a}| \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = |\vec{a}| \cdot \cos{\beta}\).
Получаем: \(-\frac{1}{2} = \cos \beta\), что приводит к углу \(\beta = 120°\).

Таким образом, компоненты вектора \(\vec{n}\) будут: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\).

2. Перейдем к нахождению острого угла между диагоналями параллелограмма.
Для этого воспользуемся формулой для косинуса острого угла между векторами: \(\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).
Подставляем известные значения: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2m+n) \cdot (-m+3n) = |-2m+n| \cdot |-m+3n| \cdot \cos{\theta}\).
Подставляем значения: \((-2m+n) \cdot (-m+3n) = \left|-2\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\right| \cdot \left|- \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\right| \cdot \cos{\theta}\).
Выполняем арифметические операции: \((-2m+n) \cdot (-m+3n) = \left|3\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\right| \cdot \left|2\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\right| \cdot \cos{\theta}\).
Получаем: \(|-3m+3n| \cdot |-m+2n| \cdot \cos{\theta}\).
Раскрываем модули векторов: \(\sqrt{(-3m+3n) \cdot (-3m+3n)} \cdot \sqrt{(-m+2n) \cdot (-m+2n)} \cdot \cos{\theta}\).
Далее, выполняем арифметические операции: \(\sqrt{(-3)^2 \cdot (m^2 - 2mn + n^2)} \cdot \sqrt{(-1)^2 \cdot (m^2 - 2mn + n^2)} \cdot \cos{\theta}\).
Обобщаем и упрощаем: \(\sqrt{9(m^2 - 2mn + n^2)} \cdot \sqrt{(m^2 - 2mn + n^2)} \cdot \cos{\theta}\).
Далее сокращаем дублирующиеся множители и получаем: \(3(m^2 - 2mn + n^2) \cdot \cos{\theta} = 3((m-n)^2) \cdot \cos{\theta}\).

Таким образом, острый угол между диагоналями параллелограмма будет равен: \(120° - \cos^{-1}{\left(\frac{3(m-n)^2}{(m-n)^2}\right)}\), или проще \(120° - \cos^{-1} 3\).

Далее перейдем к нахождению проекции вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\):
Выполняем скалярное произведение: \(\vec{b} \cdot \vec{a} = (-m+3n) \cdot (-2m+n)\).
Подставляем значения: \((-m+3n) \cdot (-2m+n) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \cdot (-2\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix})\).
Выполняем арифметические операции: \((-m+3n) \cdot (-2m+n) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \cdot (-3\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix})\).
Получаем: \((-m+3n) \cdot (-2m+n) = -\frac{1}{2} \cdot (-3\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\).

Теперь, находим проекцию вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\) по формуле: \(\vec{b}_{\text{пр}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\).

Подставляем значения: \(\vec{b}_{\text{пр}} = \frac{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\right|} \cdot \frac{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\right|}\).
Выполняем арифметические операции: \(\vec{b}_{\text{пр}} = \frac{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\right|^2} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\).
Выполняем скалярное произведение: \(\vec{b}_{\text{пр}} = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{3}{4}}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\).
Выполняем арифметические операции: \(\vec{b}_{\text{пр}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\).
Выполняем арифметические операции: \(\vec{b}_{\text{пр}} = \frac{-\frac{3}{2}}{1} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\).
Упрощаем: \(\vec{b}_{\text{пр}} = -\