Яка довжина сторони правильного трикутника, якщо радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює 9√3 см? І знайдіть

Песчаная_Змея

70

Давайте начнем с решения первой части задачи - нахождения длины стороны правильного треугольника, если радиус описанного вокруг него круга равен \(9\sqrt{3}\) см.

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны, а углы равны 60 градусов каждый. Обозначим длину стороны правильного треугольника через \(s\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный радиусом круга, описанного вокруг правильного треугольника. Мы можем нарисовать две радиусные линии, соединяющие центр круга с точками касания круга и стороны треугольника. Полученный треугольник тоже является равносторонним.

Таким образом, у нас есть два равносторонних треугольника - вписанный треугольник (который образуется радиусом круга, вписанного в правильный треугольник) и треугольник, образованный радиусом круга, описанного вокруг правильного треугольника.

Давайте найдем длину стороны вписанного треугольника. В этом треугольнике радиус является высотой, опущенной из вершины треугольника на основание (сторону треугольника). Также, известно, что высота в равностороннем треугольнике разделяет его на две равные части. Поэтому, расстояние от центра вписанного круга до основания треугольника равно длине стороны вписанного треугольника, \(s\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный радиусом круга, описанного вокруг правильного треугольника. Этот треугольник также является равносторонним. В этом треугольнике радиус служит одной из сторон. Таким образом, длина этой стороны также равна \(s\).

Теперь у нас есть два равносторонних треугольника с одинаковыми сторонами. Один треугольник образуется вписанным кругом, а другой - описанным кругом. Из этого следует, что длина стороны правильного треугольника \(s\) равна радиусу описанного круга \(9\sqrt{3}\).

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[s = 9\sqrt{3}\]

Теперь, перейдем ко второй части задачи - нахождению радиуса круга, вписанного в правильный треугольник.

Вписанный круг описывает окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Обозначим радиус вписанного круга через \(r\).

Известно, что в равностороннем треугольнике, проведенная из вершины до центра вписанного круга, является высотой. Также, высота делит основание на две равные части, что означает, что расстояние от центра вписанного круга до стороны треугольника равно длине \(s\).

Таким образом, радиус вписанного круга \(r\) также равен длине \(s\), то есть:

\[r = s\]

Мы уже вычислили, что \(s = 9\sqrt{3}\), поэтому:

\[r = 9\sqrt{3}\]

Итак, ответ на задачу:

Длина стороны правильного треугольника равна \(9\sqrt{3}\) см, а радиус вписанного круга также равен \(9\sqrt{3}\) см.