Яка довжина сторони правильного трикутника, якщо точка S віддалена від усіх його сторін на v12 см, а від площини

Rak

46

12 см?

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойством равнобедренного треугольника. В данной задаче, треугольник является равносторонним, так как все его стороны имеют одинаковую длину.

Представим этот треугольник и его стороны. Пусть сторона треугольника имеет длину х, а точка S находится на расстоянии 12 см от каждой стороны треугольника.

Теперь давайте нарисуем пунктирные линии, которые будут начинаться из точки S и перпендикулярны сторонам треугольника. Поскольку точка S находится на равном расстоянии от каждой стороны треугольника, эти пунктирные линии будут пересекать стороны треугольника в их серединах.

Таким образом, мы можем разделить каждую сторону треугольника на две части: от точки S до середины стороны и от середины стороны до вершины треугольника. Поскольку треугольник равносторонний, медиана также является высотой и делит сторону на две равные части.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной треугольника и половиной стороны треугольника. Мы знаем, что это прямоугольный треугольник, так как медиана перпендикулярна стороне треугольника.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов (половины стороны треугольника и расстояние от точки S до середины стороны) равна квадрату гипотенузы (стороны треугольника).

Используя данное свойство и обозначив половину стороны как a и расстояние от точки S до середины стороны как b, получим следующее уравнение:

\((\frac{x}{2})^2 + b^2 = x^2\)

Упростим его и решим:

\(\frac{x^2}{4} + b^2 = x^2\) — умножим обе части на 4

\(x^2 + 4b^2 = 4x^2\) — перенесем все слагаемые с x^2 на одну сторону

\(4b^2 = 3x^2\) — разделим обе части на 3

\(b^2 = \frac{3}{4}x^2\)

Теперь найдем значение переменной b, используя информацию из условия задачи. Мы знаем, что b = 12, поэтому можем записать уравнение:

\(12^2 = \frac{3}{4}x^2\)

Решим его для x:

\(144 = \frac{3}{4}x^2\)

Умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\):

\(\frac{4}{3} \cdot 144 = x^2\)

\(x^2 = 192\)

Извлечем корень из обеих сторон уравнения:

\(x = \sqrt{192}\)

Раскроем корень:

\(x = \sqrt{64 \cdot 3}\)

\(x = 8\sqrt{3}\)

Таким образом, длина стороны правильного треугольника равна \(8\sqrt{3}\) см.