Яка є довжина сторони рівностороннього трикутника, коло навколо якого має площу, що відрізняється від площі кола

Радио_6571

60

Давайте решим эту задачу.

Пусть длина стороны равностороннего треугольника равна \(x\). Мы знаем, что площадь круга, описанного вокруг треугольника, отличается от площади вписанного круга на 16π см².

Для начала, найдем площадь круга, описанного вокруг треугольника. Радиус этого круга равен половине длины стороны треугольника. Так как треугольник равносторонний, радиус описанного круга равен \(\frac{x}{2}\).

Площадь круга равна \(\pi r^2\). Подставим значение радиуса: площадь описанного круга равна \(\pi \left(\frac{x}{2}\right)^2\).

Далее, найдем площадь вписанного круга. Радиус вписанного круга равен \(\frac{x}{2\sqrt{3}}\). Площадь вписанного круга равна \(\pi \left(\frac{x}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \frac{x^2}{12}\).

Из условия задачи, площадь описанного круга и площадь вписанного круга отличаются на 16π см². Поэтому, мы можем написать уравнение:

\(\pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 - \pi \frac{x^2}{12} = 16\pi\).

Упростим это уравнение:

\(\frac{\pi}{4}x^2 - \frac{\pi}{12}x^2 = 16\pi\).

Распространим уравнение:

\(\frac{3\pi}{12}x^2 - \frac{\pi}{12}x^2 = 16\pi\).

\(\frac{2\pi}{12}x^2 = 16\pi\).

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\(\frac{\pi}{6}x^2 = 16\pi\).

Перенесем коэффициент на другую сторону:

\(x^2 = 16 \cdot 6\).

Вычислим:

\(x^2 = 96\).

Возьмем квадратный корень:

\(x = \sqrt{96}\).

Сократим:

\(x = 4\sqrt{6}\).

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника равна \(4\sqrt{6}\) см.