Яка є довжина відрізка b1b3, якщо дві мимобіжні прямі перетинають три паралельні площини і мають такі відстані

Manya

53

Для решения этой задачи, давайте разберемся, какие отрезки нам даны и как они связаны с отрезком \(b_1b_3\).

Мы знаем, что две параллельные плоскости пересекаются двумя мимобежными прямыми. Первая прямая определяется точками \(а_1\) и \(а_2\), а вторая прямая - точками \(в_2\) и \(в_3\).

Также известно, что длина отрезка \(а_2а_3\) равна 8 и длина отрезка \(в_1в_2\) равна 18.

Чтобы найти длину отрезка \(b_1b_3\), нам нужно найти длину отрезка \(а_1а_2\).

В условии задачи сказано, что сумма длин отрезков \(а_1а_2\) и \(в_2в_3\) равна 24.

Итак, у нас есть следующая система уравнений:

\[
\begin{align*}
а_1а_2 + в_2в_3 &= 24 \\
а_1а_2 + а_2а_3 &= b_1b_3 + b_3а_3
\end{align*}
\]

Перепишем первое уравнение в виде:

\[
а_1а_2 = 24 - в_2в_3
\]

Теперь второе уравнение:

\[
а_1а_2 + а_2а_3 = b_1b_3 + b_3а_3
\]

Заменим \(а_1а_2\) на выражение из первого уравнения и получим:

\[
24 - в_2в_3 + а_2а_3 = b_1b_3 + b_3а_3
\]

Так как нас интересует длина отрезка \(b_1b_3\), то решим это уравнение относительно \(b_1b_3\):

\[
b_1b_3 = 24 - в_2в_3 + а_2а_3 - b_3а_3
\]

Теперь заменим известные значения:

\[
b_1b_3 = 24 - 18 + 8 - b_3а_3
\]

\[
b_1b_3 = 14 - b_3а_3
\]

Осталось найти длину отрезка \(а_3b_3\). Из условия задачи мы знаем, что отрезки \(а_2а_3\) и \(в_2в_3\) параллельны. Поскольку мимобежные прямые пересекают эти параллельные плоскости, отрезки \(а_3b_3\) и \(а_2в_2\) являются перпендикулярами.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(а_3b_3в_2\). У него две известные стороны: 18 и 8. Найдем третью сторону с помощью теоремы Пифагора:

\[
а_3в_2 = \sqrt{18^2 - 8^2}
\]

Вычисляем:

\[
а_3в_2 = \sqrt{324 - 64} = \sqrt{260} = 2\sqrt{65}
\]

Теперь мы можем найти \(b_3а_3\) по теореме Пифагора:

\[
b_3а_3 = \sqrt{(а_3в_2)^2 + (в_2в_3)^2}
\]

Подставляем значения и считаем:

\[
b_3а_3 = \sqrt{(2\sqrt{65})^2 + 18^2} = \sqrt{260 + 324} = \sqrt{584} = 2\sqrt{146}
\]

Наконец, подставляем значение \(b_3а_3\) в исходную формулу для \(b_1b_3\) и решаем:

\[
b_1b_3 = 14 - 2\sqrt{146}
\]

Таким образом, длина отрезка \(b_1b_3\) равна \(14 - 2\sqrt{146}\).