Яка довжина відрізків, на які ділить сторону ромба точка дотику вписаного кола, якщо сторона ромба дорівнює 25

Золотой_Робин Гуд

69

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойствами ромба и вписанной окружности.

Сначала найдем диагонали ромба. В ромбе диагонали перпендикулярны друг другу и делят его на 4 равных треугольника. Так как сторона ромба равна 25 см, то его диагонали будут иметь размеры:

\[d_1 = 2 \cdot \frac{25}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{25}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{25\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \, \text{см}\]

\[d_2 = 2 \cdot \frac{25}{\sqrt{2}} = 25\sqrt{2} \, \text{см}\]

Теперь найдем радиус вписанной окружности (r). Во вписанном круге радиус перпендикулярен касательной, проведенной в точке касания. Тогда, проведя касательные из точки касания до сторон ромба, мы получим равнобедренные треугольники.

Так как высота равнобедренного треугольника перпендикулярна основанию, то ее можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора:

\[\frac{d_1}{2}^2 = r^2 + \left(\frac{25}{2}\right)^2\]

\[\left(\frac{25\sqrt{2}}{2}\right)^2 = r^2 + \left(\frac{25}{2}\right)^2\]

\[\frac{625}{2} = r^2 + \frac{625}{4}\]

\[r^2 = \frac{625}{2} - \frac{625}{4}\]

\[r^2 = \frac{625}{4}\]

\[r = \frac{25}{2} \, \text{см}\]

Теперь, имея радиус вписанной окружности, мы можем найти длину отрезка, на который делит сторону ромба точка дотика вписанного круга.

Обратимся к равнобедренным треугольникам, которые образуются при проведении касательной из точки дотика. Так как каждый из них является прямоугольным треугольником с катетами равными половине диагонали ромба и радиусом вписанной окружности, то гипотенуза каждого такого треугольника будет равна отрезку, на который делит сторону ромба точка дотика.

Таким образом, искомая длина отрезка (x) будет равна:

\[x = 2 \cdot r\]

\[x = 2 \cdot \frac{25}{2}\]

\[x = 25 \, \text{см}\]

Таким образом, длина отрезков, на которые делит сторону ромба точка дотика вписанного круга, составляет 25 см.