Рассмотрим равнобокую трапецию `ABCD`, описанную около окружности. Пусть окружность касается боковой стороны `AB`

  • 50
Рассмотрим равнобокую трапецию `ABCD`, описанную около окружности. Пусть окружность касается боковой стороны `AB` в точке `K`. Пусть прямая `DK` пересекает окружность в точке `P`, при этом известно, что `DP=4` и `KP=5`. Найдем: а) длину основания `AD`; б) косинус угла `KAD` и в) радиус окружности.
Золотой_Горизонт_8450
12
Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько частей и последовательно найдем все необходимые величины.

а) Найдем длину основания AD. Для этого воспользуемся свойствами описанной окружности равнобокой трапеции.

Обозначим центр окружности как точку O. Так как треугольник AOK прямоугольный (AO - радиус окружности, OK - касательная), то по теореме Пифагора мы можем выразить длину AK следующим образом:

AK^2 = AO^2 - OK^2

Поскольку равнобокая трапеция ABCD, описанная около окружности, все стороны, описывающие окружность (AD и BC), одинаковые, поэтому правильно будет записать AK = DK.

Так как нам известно, что DP = 4 и KP = 5, мы можем найти DK:

DK = DP + PK = 4 + 5 = 9

Теперь мы можем найти длину основания AD:

AD = 2 * AK = 2 * DK = 2 * 9 = 18

Ответ: длина основания AD равна 18.

б) Найдем косинус угла KAD. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением в прямоугольном треугольнике KAD.

Косинус угла KAD равен отношению катета AK (равного DK) к гипотенузе AD:

cos(KAD) = AK / AD = DK / AD = 9 / 18 = 1/2

Ответ: косинус угла KAD равен 1/2.

в) Найдем радиус окружности. Для этого воспользуемся свойствами равнобокой трапеции, описанной около окружности.

Радиус окружности равен половине суммы оснований AD и BC:

Радиус = (AD + BC) / 2

Так как трапеция равнобокая, основания AD и BC равны, поэтому радиус можно выразить как:

Радиус = AD / 2

Подставляя значение AD = 18, получаем:

Радиус = 18 / 2 = 9

Ответ: радиус окружности равен 9.

Вот и все решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!