Яка кількість прямих, за умови, що кожна з них проходить через 5 точок площини і ніякі три з цих точок не лежать

Якорица

38

Для решения данной задачи нам потребуется использовать комбинаторику и геометрию.

Итак, у нас есть 5 точек на плоскости, и мы хотим найти количество прямых, которые проходят через все эти точки и при этом ни одна из трех точек не лежит на одной прямой.

Для начала нам нужно выяснить, сколько уникальных пар точек существует среди этих 5 точек. Для этого мы можем использовать сочетания из 5 по 2, что обозначается как \({{5}\choose{2}}\):

\[{5\choose2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10.\]

Таким образом, у нас есть 10 уникальных пар точек.

Далее, мы знаем, что каждая прямая должна проходить через две точки. Поскольку у нас есть 10 уникальных пар точек, мы можем провести 10 прямых через каждую из этих пар.

Однако, в этом количестве учтены и такие прямые, которые могут быть получены перестановками одних и тех же точек.

Поскольку нам необходимо исключить такие прямые, мы можем использовать формулу сочетаний из 10 по 2 для определения количества уникальных прямых, которые можно получить:

\[{10\choose2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45.\]

Таким образом, у нас есть 45 уникальных прямых, которые проходят через 5 данных точек на плоскости и ни одна из трех точек не лежит на одной прямой.