Яка кількість точок, в яких функція f(x) = 3sinx - 1,5x має критичні значення?

Panda

41

Для нахождения критических значений функции необходимо найти точки, где производная функции равна нулю или неопределена. Давайте найдем производную функции \(f(x)\) и решим соответствующее уравнение.

Начнем с вычисления производной функции \(f(x)\):
\[f"(x) = 3 \cdot \cos{x} - 1,5\]

Теперь установим производную функции равной нулю и решим уравнение:
\[3 \cdot \cos{x} - 1,5 = 0\]

Добавим 1,5 к обеим сторонам уравнения:
\[3 \cdot \cos{x} = 1,5\]

Поделим обе части уравнения на 3:
\[\cos{x} = \frac{1,5}{3} = 0,5\]

Так как мы исследуем функцию на интервале от \(0\) до \(2\pi\), нам нужно найти все значения \(x\), при которых \(\cos{x} = 0,5\).

Поскольку \(\cos{x}\) является периодической функцией, имеющей период \(2\pi\), мы можем использовать тригонометрическую таблицу или калькулятор с функцией тригонометрических значений. В таблице или на калькуляторе найдите значение обратного косинуса \(\cos^{-1}(0,5)\) (также может быть обозначено как \(arc\cos(0,5)\)).

Итак, \(\cos^{-1}(0,5) \approx 1,047\) радиан (с точностью до тысячных).

Теперь мы знаем, что значение \(\cos{x}\) равно \(0,5\) при \(x \approx 1,047\) радиан.

Так как функция \(f(x)\) является тригонометрической функцией с линейным слагаемым, мы можем утверждать, что она имеет бесконечно много критических точек. В данном случае, каждый раз, когда \(\cos{x} = 0,5\), функция имеет критическое значение. Однако, чтобы определить точное количество таких точек на интервале от \(0\) до \(2\pi\), нам нужно рассмотреть график функции \(f(x)\).

Если у вас есть дополнительная информация о графике функции, пожалуйста, предоставьте ее, чтобы я мог дать более подробный ответ.