Яка маса планети з радіусом 4000км, якщо прискорення вільного падіння у 14 разів менше, ніж на Землі?

Ogon

56

Для решения этой задачи нам потребуется использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила гравитационного притяжения между двумя телами,
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}\)),
\(m_1\) и \(m_2\) - массы этих двух тел,
\(r\) - расстояние между центрами масс этих тел.

В нашем случае \(m_1\) - масса Земли, \(m_2\) - масса планеты с неизвестной массой.

Из условия задачи известно, что прискорение свободного падения на планете в 14 раз меньше, чем на Земле. Прискорение свободного падения на Земле обозначим \(g_1\), на планете - \(g_2\).

Мы знаем, что прискорение свободного падения можно выразить как:

\[g = \frac{{F}}{{m}}\]

где \(g\) - прискорение свободного падения,
\(F\) - сила гравитационного притяжения,
\(m\) - масса падающего тела.

Так как сила притяжения \(F\) между падающим телом массой \(m\) и планетой массой \(m_2\) равна \(F = m \cdot g_2\) и \(F\) между падающим телом массой \(m\) и Землей массой \(m_1\) равна \(F = m \cdot g_1\), то мы можем записать:

\[m \cdot g_2 = m \cdot g_1\]

Поскольку масса падающего тела \(m\) в формуле сокращается, получаем:

\[g_2 = g_1\]

Теперь, используя формулу гравитационного закона Ньютона, можем записать:

\[\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2_2}} = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2_1}}\]

Так как гравитационная постоянная \(G\) и масса Земли \(m_1\) неизменны, исключим эти величины:

\[\frac{{m_2}}{{r^2_2}} = \frac{{m_2}}{{r^2_1}}\]

Сократим массу падающего тела \(m_2\):

\[\frac{1}{{r^2_2}} = \frac{1}{{r^2_1}}\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно квадратов расстояний:

\[r^2_2 = r^2_1\]

Так как \(r_2 = 4000 \, \text{км}\), найдем \(r_1\):

\[r_1 = \sqrt{{r^2_2}} = \sqrt{{4000^2}} = 4000 \, \text{км}\]

Поскольку радиус планеты \(r_1\) равен радиусу планеты \(r_2\), мы можем сделать вывод, что масса планеты \(m_2\) также равна массе Земли \(m_1\):

\[m_2 = m_1\]

Итак, масса планеты с радиусом 4000 км равна массе Земли.