Сколько времени потребуется для того, чтобы амплитуда собственных колебаний в колебательном контуре, состоящем

Lvica

48

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для периода колебаний в колебательном контуре. Формула имеет вид:

\[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

где T - период колебаний, L - индуктивность катушки, C - емкость конденсатора.

Задача требует найти время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз. Нам известно, что амплитуда связана с периодом следующим образом:

\[ A = A_0 e^{-\frac{t}{\tau}} \]

где A - текущая амплитуда, A0 - начальная амплитуда, t - время, прошедшее с начала колебаний, и τ - постоянная времени, равная T/4.

Зная это, мы можем описать уменьшение амплитуды в 10 раз:

\[ \frac{A}{A_0} = \frac{1}{10} \]

Теперь, зная формулу для амплитуды, мы можем найти время, за которое она уменьшится в 10 раз. Подставим значения в формулу и решим уравнение:

\[ \frac{A_0}{10A_0} = e^{-\frac{t}{\tau}} \]

\[ \frac{1}{10} = e^{-\frac{t}{\tau}} \]

Чтобы найти время t, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

\[ \ln{\left(\frac{1}{10}\right)} = -\frac{t}{\tau} \]

\[ t = -\ln{\left(\frac{1}{10}\right)} \tau \]

Используя формулу для постоянной времени τ:

\[ \tau = \frac{L}{R} \]

где R - сопротивление в колебательном контуре, получим:

\[ t = -\ln{\left(\frac{1}{10}\right)} \frac{L}{R} \]

Подставляем известные значения L = 10 мГн и R = 2 Ом:

\[ t = -\ln{\left(\frac{1}{10}\right)} \frac{10 \times 10^{-3}}{2} \]

\[ t = -\ln{\left(\frac{1}{10}\right)} \times 5 \times 10^{-3} \]

Теперь мы можем вычислить значение времени t.