Яка площа бічної поверхні зрізаної піраміди, якщо діагоналі основ мають довжини 6 см і 2 см, а двогранний кут при ребрі

Magicheskiy_Labirint_2671

67

Щоб знайти площу бічної поверхні зрізаної піраміди, спочатку треба знайти площі бічних поверхонь кожної з баз піраміди, а потім їх сумувати. Давайте почнемо!

Ми знаємо, що у нас є дві основи піраміди. Діагоналі цих основ мають довжини 6 см і 2 см. Ласка, зверніть увагу на те, що ми не знаємо довжини самого ребра піраміди.

Для обчислення площі бічної поверхні зрізаної піраміди, почнемо зі знаходження висоти піраміди. Ми можемо використовувати Піфагорову теорему для знаходження висоти.

Нагадаю, Піфагорова теорема виглядає наступним чином:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

де a, b - катети прямокутного трикутника, c - гіпотенуза.

У випадку нашої піраміди велика основа це гіпотенуза, а діагоналі є катетами. Тому ми можемо записати два рівняння з використанням Піфагорової теореми:

\[\text{Для першої основи:} \: 6^2 = a^2 + h^2\]
\[\text{Для другої основи:} \: 2^2 = b^2 + h^2\]

Тут a і b - довжини катетів наших трикутників, h - шукана висота піраміди.

Тепер давайте знайдемо a^2, b^2, а потім висоту h. Розв"язуючи обидва рівняння черговим чином, ми отримаємо:

\[36 - a^2 = h^2\]
\[4 - b^2 = h^2\]

\[h^2 = 36 - a^2\]
\[h^2 = 4 - b^2\]

Тепер перейдемо до двогранного кута при ребрі більшої основи. Нам доречно використовувати теорему косинусів для цього.

Теорема косинусів виглядає наступним чином:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta\]

де a, b - сторони трикутника, c - сторона проти кута \(\theta\).

Так як у нас є кут 60 градусів і цей кут лежить напроти більшої основи, позначимо його як кут \(\theta\), тоді a = 6 і b = 2.

\[c^2 = 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \cos 60\]

Виконуючи нескладні обчислення, ми отримуємо:

\[c^2 = 40\]
\[c = \sqrt{40}\]
\[c = 2\sqrt{10}\]

Тепер ми можемо знайти площу бічної поверхні кожної з баз піраміди. Нагадаю, що площа бічної поверхні в правильній піраміді може бути знайдена за допомогою формули:

\[S_{\text{бічної поверхні}} = \dfrac{c \cdot P}{2}\]

де c - сторона проти кута, P - периметр основи.

Для першої основи ми вже знайшли сторону c = 2\sqrt{10}. Нам тепер потрібно знайти периметр основи. У нас немає відомостей про форму основи піраміди, тому ми не можемо точно знати його. Нехай позначимо периметр як P1.

Аналогічно, для другої основи, у нас сторона c = 2\sqrt{10}, і периметр основи позначимо як P2.

Отже, ми можемо записати площу бічної поверхні для першої основи:

\[S_{\text{бічної поверхні 1}} = \dfrac{2\sqrt{10} \cdot P1}{2} = \sqrt{10} \cdot P1\]

Аналогічно, площу бічної поверхні для другої основи записуємо:

\[S_{\text{бічної поверхні 2}} = \dfrac{2\sqrt{10} \cdot P2}{2} = \sqrt{10} \cdot P2\]

Отже, загальна площа бічної поверхні зрізаної піраміди буде сумою площ бічних поверхонь кожної з баз:

\[S_{\text{бічної поверхні}} = S_{\text{бічної поверхні 1}} + S_{\text{бічної поверхні 2}} = \sqrt{10} \cdot P1 + \sqrt{10} \cdot P2 = \sqrt{10} (P1 + P2)\]

Оскільки у нас немає більше інформації про основи піраміди, ми не можемо обчислити точну площу бічної поверхні. Основою для розв"язання цієї задачі буде знаходження периметру кожної з баз і заміна їх у виразі для площі бічної поверхні.

Надіюсь, цей пошаговий розв"язок допоможе вам зрозуміти задачу та процес її розв"язання! Якщо у вас є будь-які додаткові питання, не соромтеся їх задавати.