Какова высота треугольника PMK MN, если PM равно 3, MK равно 4 и угол PMK равен 120 градусам?

Руслан

26

Чтобы найти высоту треугольника PMK, мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Дано: PM = 3, MK = 4 и угол PMK = 120 градусов.

Сначала найдем площадь треугольника PMK:
\[ S = \frac{1}{2} \times ПМ \times МК \times \sin(PMK) \]
\[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin(120^\circ) \]

Чтобы вычислить синус угла 120 градусов, нам понадобится знать, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Однако, у нас нет прямоугольного треугольника, поэтому мы воспользуемся другой формулой.

По формуле синусов мы можем записать:
\[ \sin(PMK) = \frac{PM}{\frac{MK}{\sin(MKP)}} \]

Теперь подставим это значение в формулу для площади:
\[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{3}{\frac{4}{\sin(120^\circ)}} \]

Вычислим знаменатель:
\[ \frac{4}{\sin(120^\circ)} = 4 \times \frac{1}{\sin(120^\circ)} = 4 \times \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \]

Теперь мы можем продолжить расчет площади:
\[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{3}{\frac{8\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{3}{\frac{8}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{2} \times \frac{9 \times 4 \times \sqrt{3}}{8} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \]

Теперь найдем высоту треугольника, используя формулу:
\[ h = \frac{2S}{PM} = \frac{2 \times \frac{9\sqrt{3}}{4}}{3} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, высота треугольника PMK равна \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \) (приблизительно 2.598).