Яка є площа осьового перерізу циліндра, якщо його діагональ дорівнює d і утворює кут b з твірною?

Надежда

43

Щоб знайти площу осьового перерізу циліндра, нам потрібно знати радіус циліндра та кут b між діагоналлю і твірною, які формуються в осьовому перерізі циліндра.

Оскільки ми не маємо цих вихідних даних, ми не зможемо дати конкретну відповідь з обчисленою площею. Однак, ми можемо виразити площу осьового перерізу циліндра залежно від заданих параметрів.

Площа осьового перерізу циліндра може бути обчислена за формулою \( S = \pi r^2 \), де \( S \) - площа, \( \pi \) - математична стала, яка приблизно дорівнює 3,14159, і \( r \) - радіус циліндра.

Щоб розрахувати радіус циліндра, нам спочатку потрібно визначити його висоту (h), яка може бути знайдена утворюваним прямокутним трикутником між діагоналлю (d) і твірною (d/2).

За теоремою Піфагора, в квадраті гіпотенузи (d) рівний сумі квадратів катетів (d/2) і висоти (h):

\[d^2 = (\frac{d}{2})^2 + h^2\]

Ми можемо розв"язати це рівняння для висоти \(h\):

\[h = \sqrt{d^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{\frac{4d^2 - d^2}{4}} = \sqrt{\frac{3d^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}d\]

Тепер, коли ми знаємо висоту циліндра, ми можемо обчислити радіус за формулою \(r = \frac{h}{2}\):

\[r = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}d = \frac{\sqrt{3}}{4}d\]

І, нарешті, підставляючи радіус у формулу для площі осьового перерізу циліндра, ми отримуємо:

\[ S = \pi (\frac{\sqrt{3}}{4}d)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{16} \pi d^2\]