Какова площадь треугольника с координатами вершин О(0;2;0), А(2; 0;4) и В(4;4;2)?

Ледяной_Дракон

53

Чтобы найти площадь треугольника с заданными вершинами О(0;2;0), А(2; 0;4) и В(4;4;2), мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника, известной как формула Герона. Но прежде чем приступить к вычислениям, давайте определим длины сторон треугольника.

Для этого мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Теперь, используя данную формулу, находим длины сторон треугольника. Первая сторона треугольника это отрезок ОА, вторая сторона это отрезок ОВ, а третья сторона это отрезок АВ.

Длина стороны ОА:
\[D_{ОА} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (4 - 0)^2}\]
\[D_{ОА} = \sqrt{4 + 4 + 16}\]
\[D_{ОА} = \sqrt{24}\]

Длина стороны ОВ:
\[D_{ОВ} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 0)^2}\]
\[D_{ОВ} = \sqrt{16 + 4 + 4}\]
\[D_{ОВ} = \sqrt{24}\]

Длина стороны АВ:
\[D_{АВ} = \sqrt{(4 - 2)^2 + (4 - 0)^2 + (2 - 4)^2}\]
\[D_{АВ} = \sqrt{4 + 16 + 4}\]
\[D_{АВ} = \sqrt{24}\]

Теперь, когда мы определили длины сторон треугольника, мы можем перейти к вычислению его площади по формуле Герона. Формула выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника.

Для нашего треугольника полупериметр равен:
\[p = \frac{D_{ОА} + D_{ОВ} + D_{АВ}}{2} = \frac{\sqrt{24} + \sqrt{24} + \sqrt{24}}{2}\]

Теперь, подставив значения в формулу площади, получим:
\[S = \sqrt{p(p - D_{ОА})(p - D_{ОВ})(p - D_{АВ})}\]

Подставляем значения:
\[S = \sqrt{\frac{\sqrt{24} + \sqrt{24} + \sqrt{24}}{2}\left(\frac{\sqrt{24} + \sqrt{24} + \sqrt{24}}{2} - \sqrt{24}\right)\left(\frac{\sqrt{24} + \sqrt{24} + \sqrt{24}}{2} - \sqrt{24}\right)\left(\frac{\sqrt{24} + \sqrt{24} + \sqrt{24}}{2} - \sqrt{24}\right)}\]

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника с помощью калькулятора. Полученный ответ будет являться площадью треугольника соответствующей координатам вершин О(0;2;0), А(2; 0;4) и В(4;4;2).