Яка площа поверхні куба, якщо площа діагонального перерізу дорівнює 4√2 см²?

Karamel

11

Давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом давайте уточним, что такое "площадь диагонального перереза". В случае с кубом, диагональный перерез - это прямая линия, которая проходит через его диагональ. Взгляните на следующую схему, где "d" обозначает диагональ куба:

        _______

       /      /|

      /______/ |

     |      |  |

     |      | /d

     |      |/

Согласно условию задачи, площадь диагонального перереза равна \(4\sqrt{2} \, \text{см}^2\). Теперь нам нужно найти площадь поверхности куба.

Вторым шагом, давайте найдем длину диагонали куба. Для этого воспользуемся тем, что прямоугольный треугольник, образованный диагональю куба и двумя его сторонами, является прямоугольным треугольником. Поэтому, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали.

По теореме Пифагора:
\[d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2,\]
где \(a\) - длина стороны куба.

Третий шаг состоит в выражении площади поверхности куба через его сторону \(a\). Площадь поверхности куба равна сумме площадей его граней. Куб имеет 6 граней, поэтому:
\[S = 6a^2.\]

Теперь давайте решим задачу. У нас есть значение площади диагонального перереза \(4\sqrt{2} \, \text{см}^2\). Мы можем найти длину диагонали куба, подставив это значение в формулу для длины диагонали:
\[d = \sqrt{3}a.\]

Теперь, выражая площадь поверхности \(S\) через длину диагонали \(d\), получим:
\[S = 6\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2.\]

Подставив значение \(d = 4\sqrt{2} \, \text{см}^2\), мы найдем площадь поверхности куба:
\[S = 6\left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2.\]

Выполнив вычисления, получим:
\[S = 6\left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6\frac{32}{3} = 64 \, \text{см}^2.\]

Итак, площадь поверхности данного куба равна 64 квадратным сантиметрам.