Яка площа поверхні утворюється при обертанні трикутника зі сторонами 30, 40 і 50 навколо його найбільшої сторони?

Ledyanaya_Magiya

64

Для решения задачи, нам потребуется знание формулы площади поверхни трикутника и основных свойств треугольников.

Перед тем, как начать решение, давайте определимся, как называются стороны треугольника. В данной задаче у нас три стороны: А, В и С. По условию, наша задача - найти площадь поверхности, образуемой при вращении треугольника вокруг наибольшей стороны, которую мы обозначим как С.

Формула площади поверхни треугольника, образованной при вращении вокруг стороны С, выглядит следующим образом:

\[S = 2 \pi \cdot R \cdot h\]

где \(R\) - радиус окружности, образованной при вращении, а \(h\) - высота треугольника, опущенная на эту сторону.

Чтобы найти радиус \(R\), нам потребуется знать длину стороны С. В нашем случае, это 50.

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти высоту \(h\). Мы можем воспользоваться формулой полупериметра \(p\) треугольника и формулой Герона для вычисления площади треугольника через длины его сторон.

Формулы:

\[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

\[S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(a, b, c\) - длины сторон треугольника.

Рассчитаем полупериметр \(p\):

\[p = \frac{{30 + 40 + 50}}{2} = 60\]

Теперь нам нужно вычислить площадь треугольника \(S_{\triangle}\):

\[S_{\triangle} = \sqrt{60(60-30)(60-40)(60-50)} = \sqrt{60 \cdot 30 \cdot 20 \cdot 10} = \sqrt{360000} = 600\]

Таким образом, мы нашли площадь основного треугольника, образованного сторонами 30, 40 и 50, равную 600 единицам площади.

Теперь перейдем к нахождению радиуса \(R\). Для этого мы воспользуемся формулой:

\[R = \frac{{abc}}{{4S_{\triangle}}}\]

Подставим значения:

\[R = \frac{{30 \cdot 40 \cdot 50}}{{4 \cdot 600}} = \frac{{60000}}{{2400}} = 25\]

Теперь у нас есть значение радиуса \(R\), которое равно 25.

Окончательно, мы можем вычислить площадь поверхности, образованной при вращении треугольника вокруг его наибольшей стороны, используя формулу:

\[S = 2 \pi \cdot R \cdot h\]

Подставим известные значения:

\[S = 2 \pi \cdot 25 \cdot h\]

Однако у нас до сих пор нет значения высоты \(h\). Для ее нахождения мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины высоты треугольника из основания \(c\) данного треугольника (сторона 50) и гипотенузы треугольника:

\[h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2}\]

Подставим значения:

\[h = \sqrt{50^2 - \left(\frac{50}{2}\right)^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875}\]

Таким образом, высота \(h\) равна \(\sqrt{1875}\).

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности, образованной при вращении треугольника, используя формулу:

\[S = 2 \pi \cdot R \cdot h\]

Подставим значения:

\[S = 2 \pi \cdot 25 \cdot \sqrt{1875}\]

Мы можем оставить ответ в таком виде или приблизить его до нужной точности, используя аппроксимацию числа \(\pi\) равной 3.14:

\[S \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 25 \cdot \sqrt{1875}\]

Вычислив эту формулу, получим окончательный ответ.

Пожалуйста, проверьте внимательно каждый шаг решения, чтобы удостовериться в его правильности. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь вам!