Яка площа повної поверхні прямої призми, якщо основа є прямокутний трикутник з гіпотенузою 8 см і кутом 30°, а

Parovoz_8377

39

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить площадь полной поверхности прямой призмы (S). Для этого нужно разделить всю поверхность призмы на отдельные грани и затем сложить площади этих граней.

Прямая призма состоит из трех прямоугольных граней и двух равнобедренных треугольных граней.

Для начала, найдем площадь прямоугольного треугольника. Мы знаем, что гипотенуза равна 8 см, а один из углов равен 30°.

По определению, площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту. В данном случае основанием является гипотенуза, а высота - одно из катетов.

\[S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

С помощью тригонометрии, мы можем выразить высоту через катеты и угол:
\[h = a \cdot \sin(\alpha)\]

Теперь заменим выражение для высоты в формуле площади треугольника:
\[S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(\alpha)\]

Зная значения для стороны прямоугольного треугольника (гипотенузу), которая равна 8 см, и угла в 30°, мы можем вычислить площадь треугольника.

Теперь, чтобы вычислить площадь прямоугольной грани, мы умножим длину и ширину прямоугольника.

В нашем случае, одна из сторон прямоугольника будет равна гипотенузе треугольника (8 см), а другая - катету треугольника.

Таким образом, площадь одной прямоугольной грани равна:
\[S_{прямоугольной \ грани} = a \cdot b\]

Для определения площади одной равнобедренной треугольной грани, можно воспользоваться формулой площади треугольника:
\[S_{равнобедренной \ грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

В нашем случае, сторона равнобедренного треугольника будет равна одному из катетов прямоугольного треугольника, а высота - высоте прямоугольного треугольника.

Таким образом, площадь одной равнобедренной треугольной грани равна:
\[S_{равнобедренной \ грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

Теперь мы можем продолжить и вычислить площадь полной поверхности призмы. Для этого сложим площади всех граней:

\[S_{полной \ поверхности} = 2 \cdot S_{прямоугольной \ грани} + 3 \cdot S_{равнобедренной \ грани}\]

Подставим значения из условия задачи:
\[S_{полной \ поверхности} = 2 \cdot (8 \cdot b) + 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(\alpha)\right)\]

Мы также знаем, что объем призмы равен 48 см³. Объем призмы можно вычислить по формуле:
\[V = S_{основания} \cdot h\]
где \(S_{основания}\) - площадь основания призмы, а \(h\) - высота призмы.

В нашем случае, основанием призмы является прямоугольный треугольник, так что площадь основания равна площади этого треугольника.

Тогда:
\[V = S_{треугольника} \cdot h\]

Подставим значения из условия задачи:
\[48 = S_{треугольника} \cdot h\]

\[h = \frac{48}{S_{треугольника}}\]

Теперь, имея значения сторон треугольника и его высоту, мы можем вычислить площадь треугольника, а затем и площадь полной поверхности призмы.

Пожалуйста, дайте мне некоторое время для выполнения всех вычислений.