Яка площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда зі сторонами основ 3 см і 6 см, враховуючи діагональ

Zimniy_Veter

53

Для нахождения площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с основаниями длиной 3 см и 6 см, учитываем диагональ параллелепипеда.

Для начала, нужно определить высоту параллелепипеда. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину диагонали параллелепипеда:

\(\text{диагональ} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\),

где \(a, b, c\) - длины сторон основ прямоугольного параллелепипеда.

В данном случае, стороны основ – 3 см и 6 см. Подставляя данные в формулу, получаем:

\(\text{диагональ} = \sqrt{3^2 + 6^2 + h^2}\),

где \(h\) - высота параллелепипеда.

Задача дает нам значение диагонали, поэтому мы можем эту формулу использовать для нахождения высоты. Подставляя значение диагонали и длин сторон, получаем следующее:

\(\text{диагональ} = \sqrt{3^2 + 6^2 + h^2} = \sqrt{9 + 36 + h^2}\).

Полученное уравнение позволяет нам найти значение \(h\). Решим его:

\(\text{диагональ} = \sqrt{45 + h^2}\).

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(\text{диагональ}^2 = 45 + h^2\).

Теперь выражаем \(h\):

\(h^2 = \text{диагональ}^2 - 45\).

\(h = \sqrt{\text{диагональ}^2 - 45}\).

Подставляем значение диагонали из задачи и рассчитываем высоту:

\(h = \sqrt{216 - 45} = \sqrt{171} \approx 13.08 \, \text{см}\).

После нахождения высоты, мы можем рассчитать площадь основ параллелепипеда:

\(\text{площадь основы} = a \cdot b = 3 \, \text{см} \cdot 6 \, \text{см} = 18 \, \text{см}^2\).

Теперь можно рассчитать площадь боковых поверхностей. Так как параллелепипед имеет 3 пары одинаковых сторон (пары сторон с длиной 3 см и сторон с длиной 6 см), площадь боковой поверхности будет равна:

\(\text{площадь боковой поверхности} = 2 \cdot (a \cdot h + b \cdot h) = 2 \cdot (3 \, \text{см} \cdot 13.08 \, \text{см} + 6 \, \text{см} \cdot 13.08 \, \text{см})\).

Подставляем значения сторон и высоты, и рассчитываем площадь боковой поверхности:

\(\text{площадь боковой поверхности} = 2 \cdot (3 \, \text{см} \cdot 13.08 \, \text{см} + 6 \, \text{см} \cdot 13.08 \, \text{см}) \approx 429.12 \, \text{см}^2\).

Наконец, вычисляем площадь полной поверхности параллелепипеда:

\(\text{площадь полной поверхности} = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot h + b \cdot h) = 2 \cdot (18 \, \text{см}^2 + 3 \, \text{см} \cdot 13.08 \, \text{см} + 6 \, \text{см} \cdot 13.08 \, \text{см})\).

Подставляем значения площади основы и боковой поверхности и рассчитываем площадь полной поверхности:

\(\text{площадь полной поверхности} = 2 \cdot (18 \, \text{см}^2 + 3 \, \text{см} \cdot 13.08 \, \text{см} + 6 \, \text{см} \cdot 13.08 \, \text{см}) \approx 465.12 \, \text{см}^2\).

Таким образом, площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с основаниями 3 см и 6 см, учитывая диагональ параллелепипеда, составляет около 465.12 см².