Яка площа прямокутника, у якого діагональ дорівнює 12√3 см і утворює кут 60 градусів з однією стороною?

Блестящая_Королева

35

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойства прямоугольника и применить знания о тригонометрии. Начнем с построения прямоугольника, чтобы лучше понять задачу.

Давайте обозначим стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\). Зная, что диагональ равна \(12\sqrt{3}\) см и образует угол 60 градусов с одной из сторон, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин других сторон прямоугольника.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов (двух непересекающихся сторон, образующих прямой угол) равна квадрату гипотенузы (длины диагонали). Исходя из этого, мы можем составить следующее уравнение:

\[a^2 + b^2 = (12\sqrt{3})^2\]

Теперь давайте рассмотрим угол, образованный одной из сторон прямоугольника и диагональю. Мы знаем, что этот угол равен 60 градусов. Для прямоугольника сторона, образующая этот угол, будет гипотенузой, а другая сторона - катетом. Мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы выразить \(b\) через \(a\) и найти выражение для площади прямоугольника.

В прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов, соответствующий катет (сторона прямоугольника) связан с гипотенузой (диагональю) и противоположным катетом (другая сторона прямоугольника) следующим образом:

\[\sin{60°} = \frac{b}{12\sqrt{3}}\]

\[\frac{1}{2} = \frac{b}{12\sqrt{3}}\]

\[b = \frac{12\sqrt{3}}{2}\]

\[b = 6\sqrt{3}\]

Таким образом, мы нашли значение стороны \(b\) равное \(6\sqrt{3}\) см.

Теперь, используя это значение, мы можем воспользоваться уравнением \(a^2 + b^2 = (12\sqrt{3})^2\) для нахождения \(a\):

\[a^2 + (6\sqrt{3})^2 = (12\sqrt{3})^2\]

\[a^2 + 36 \cdot 3 = 12^2 \cdot 3\]

\[a^2 + 108 = 144\]

\[a^2 = 144 - 108\]

\[a^2 = 36\]

\[a = \sqrt{36}\]

\[a = 6\]

Итак, мы нашли значение стороны \(a\), равное 6 см.

Теперь, когда у нас есть значения обеих сторон прямоугольника, мы можем найти его площадь, используя формулу:

\[Площадь = a \times b\]

\[Площадь = 6 \times 6\sqrt{3}\]

\[Площадь = 36\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь данного прямоугольника равна \(36\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.