Яка площа прямокутника, якщо бісектриса його кута розділяє його діагональ на відрізки довжиною 1 см і

Saveliy

65

діагональ на відрізки довжиною 3 см?

Добре, давайте розв"яжемо цю задачу.

Спершу давайте зобразимо прямокутник і означимо дані.

Назвемо сторони прямокутника a і b, де a - це більша сторона, а b - менша сторона.

Також нехай c - це довжина діагоналі, а d - відрізок, на який розділяється діагональ бісектриса кута.

За умовою задачі, ми знаємо, що довжина одного з відрізків діагоналі (назвемо його d) дорівнює 1 см, а другий відрізок діагоналі дорівнює 3 см.

За теоремою Піфагора ми можемо записати наступну рівність:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Також, з означення бісектриси кута, ми знаємо, що відрізок, на який розділяється діагональ, утворює пропорціональність:

\[ \frac{a}{d} = \frac{c}{3} \]

Зараз ми можемо розв"язати систему рівнянь, використовуючи ці дві рівності.

Давайте розв"яжемо першу рівність для b:

\[ b^2 = c^2 - a^2 \]

Тепер підставимо це значення b в другу рівність:

\[ \frac{a}{d} = \frac{c}{3} \]

\[ \frac{a}{d} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{3} \]

\[ \frac{a}{d} = \frac{\sqrt{a^2 + (c^2 - a^2)}}{3} \]

\[ \frac{a}{d} = \frac{\sqrt{c^2}}{3} \]

\[ \frac{a}{d} = \frac{c}{3} \]

Тепер, спростивши останнє рівняння, ми отримуємо:

\[ 3a = cd \]

Зараз можемо підставити значення d = 1 см з умови задачі:

\[ 3a = c \cdot 1 \]

\[ 3a = c \]

Отже, ми маємо систему рівнянь:

\[ b^2 = c^2 - a^2 \]

\[ 3a = c \]

Тепер можемо розв"язати цю систему рівнянь.

Якщо замінити другу рівність в першу, ми отримаємо:

\[ b^2 = (3a)^2 - a^2 \]

\[ b^2 = 9a^2 - a^2 \]

\[ b^2 = 8a^2 \]

Тепер, якщо виразити площу прямокутника (S) через сторони a і b, ми отримаємо:

\[ S = a \cdot b \]

\[ S = a \cdot \sqrt{8a^2} \]

\[ S = a \cdot 2a \cdot \sqrt{2} \]

\[ S = 2a^2 \cdot \sqrt{2} \]

Отже, площа прямокутника дорівнює \(2a^2 \cdot \sqrt{2}\) квадратними сантиметрами.

Ось і все рішення задачі. Надіюся, що воно було зрозуміле і детальне.