1. Какова площадь боковой поверхности прямой призмы с прямоугольным треугольником в качестве основания с катетами

Сумасшедший_Шерлок

34

1. Чтобы найти площадь боковой поверхности прямой призмы с прямоугольным треугольником в качестве основания, нам необходимо найти периметр основания и умножить его на высоту призмы.

В данной задаче у нас прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Чтобы найти гипотенузу этого треугольника (сторону основания призмы), мы можем использовать теорему Пифагора.

Гипотенуза равна \(\sqrt{10^2 + 24^2} = 26\) см.

Так как наибольшая грань является квадратом, все стороны этого квадрата равны стороне основания призмы, то есть 26 см.

Теперь нам нужно найти высоту призмы. Так как у нас прямоугольный треугольник, мы можем использовать один из катетов треугольника в качестве высоты. В данном случае, высота равна 10 см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы рассчитывается по формуле \(P = 2a + Ph\), где \(P\) - периметр основания призмы, \(a\) - сторона основания призмы, \(h\) - высота призмы.

Подставим наши значения в формулу:
\(P = 2 \cdot 26 + 26 \cdot 10 = 52 + 260 = 312\) кв. см.

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы составляет 312 кв. см.

2. Для нахождения площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно найти сумму площадей всех ее граней.

Нам известно, что высота пирамиды равна 4 см и двугранный угол при основании составляет 45°.

У основания пирамиды у нас правильный четырехугольник, что означает, что все его стороны и углы равны. Значит у нас есть равносторонний треугольник.

Для нахождения площади равностороннего треугольника, мы можем использовать формулу \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\), где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина стороны треугольника.

В данном случае, длина стороны равна 4 см. Подставим значения в формулу:
\(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{4\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}\) кв. см.

Теперь нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Для этого мы можем использовать формулу \(P = \frac{1}{2}Ph\), где \(P\) - периметр основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

У нас равносторонний треугольник, поэтому периметр равен \(3a\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

В данном случае, периметр равен 3 * 4 = 12 см.

Подставим значения в формулу:
\(P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24\) кв. см.

Теперь найдем площадь основания пирамиды. Для равностороннего треугольника, мы уже вычислили, что площадь основания равна \(16\sqrt{3}\) кв. см.

Таким образом, получаем площадь боковой поверхности пирамиды: \(P = 24\) кв. см и площадь основания пирамиды: \(S = 16\sqrt{3}\) кв. см.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется как сумма площади боковой поверхности и площади основания.

\(S_{\text{полн}} = P + S = 24 + 16\sqrt{3}\) кв. см.

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды составляет \(24 + 16\sqrt{3}\) кв. см.

3. а) Чтобы найти апофему правильной треугольной пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания пирамиды.

У нас дана высота пирамиды, которая равна 2 см, и радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды, который равен 4 см.

Так как у нас треугольник, составленный из апофемы, высоты и радиуса окружности, является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения апофемы.

\(r^2 = (h^2 - a^2) + (\frac{a}{2})^2\), где \(r\) - радиус окружности, \(h\) - высота пирамиды, \(a\) - сторона треугольника.

В нашем случае, \(r = 4\) см, \(h = 2\) см.

Подставим значения в формулу:
\(4^2 = (2^2 - a^2) + (\frac{a}{2})^2\)
\(16 = 4 - a^2 + \frac{a^2}{4}\)
\(16 = 4 + \frac{3}{4}a^2\)
\(12 = \frac{3}{4}a^2\)
\(\frac{12}{\frac{3}{4}} = a^2\)
\(16 = a^2\)

Из полученного результата мы можем найти сторону треугольника \(a\), зная что она не может быть отрицательной:
\(a = \sqrt{16} = 4\) см.

Таким образом, апофема пирамиды равна 4 см.

3. б) Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, мы можем использовать формулу \(S = \frac{1}{2}Pa\), где \(S\) - площадь боковой поверхности пирамиды, \(P\) - периметр основания пирамиды, \(a\) - апофема пирамиды.

У нас равносторонний треугольник, и мы уже нашли сторону \(a\), которая равна 4 см.

Периметр равностороннего треугольника можно найти умножив сторону на 3.
\(P = 3a = 3 \cdot 4 = 12\) см.

Подставим значения в формулу:
\(S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24\) кв. см.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет 24 кв. см.