Яка площа ромба зі стороною 20 см, коли одна діагональ на 8 см більша за іншу?

Iskryaschiysya_Paren

9

Щоб знайти площу ромба, спочатку нам потрібно знайти значення його діагоналей. За умовою задачі, ми знаємо, що одна діагональ на 8 см більша за іншу. Позначимо сторону ромба як \(a\) і коротшу діагональ як \(d_1\).

На основі цієї інформації, ми можемо записати співвідношення:

\[d_1 = a\]
\[d_2 = a + 8\]

Також ми знаємо, що у ромбах діагоналі перпендикулярні одна до одної і образують прямий кут. За теоремою Піфагора, можемо скористатися наступним співвідношенням:

\[a^2 = \left(\frac{{d_1}}{2}\right)^2 + \left(\frac{{d_2}}{2}\right)^2\]

Тепер підставимо значення діагоналей:

\[a^2 = \left(\frac{{a}}{2}\right)^2 + \left(\frac{{a + 8}}{2}\right)^2\]

Вирішимо це рівняння пошагово. На початку розкриємо квадрати:

\[a^2 = \frac{{a^2}}{4} + \frac{{(a + 8)^2}}{4}\]

Зведемо дроби до спільного знаменника:

\[a^2 = \frac{{a^2 + (a + 8)^2}}{4}\]

Помножимо обидві частини рівняння на 4, щоб позбутися від знаменника:

\[4a^2 = a^2 + (a + 8)^2\]

Розкриємо квадрати:

\[4a^2 = a^2 + a^2 + 16a + 64\]

Складемо подібні доданки:

\[4a^2 = 2a^2 + 16a + 64\]

Перенесемо все на одну сторону рівняння:

\[2a^2 - 16a - 64 = 0\]

Тепер ми можемо спростити це квадратне рівняння. Розділимо кожний коефіцієнт на 2, щоб спростити обчислення:

\[a^2 - 8a - 32 = 0\]

Це квадратне рівняння не має очевидних розв"язків, тому ми застосуємо квадратне рівняння на коефіціентах:

\[a = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Де \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = -32\). Підставимо ці значення і розв"яжемо квадратне рівняння:

\[a = \frac{{-(-8) \pm \sqrt{{(-8)^2 - 4(1)(-32)}}}}{{2(1)}}\]

\[a = \frac{{8 \pm \sqrt{{64 + 128}}}}{{2}}\]

\[a = \frac{{8 \pm \sqrt{{192}}}}{{2}}\]

Тепер вирахуємо знакий дискримінанта:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-8)^2 - 4(1)(-32)\]
\[D = 64 + 128\]
\[D = 192\]

Значення дискримінанта \(D\) має бути додатнім, щоб мати розв"язки. В даному випадку, ми маємо два розв"язки, оскільки дискримінант дорівнює 192.

\[a = \frac{{8 \pm \sqrt{{192}}}}{{2}}\]

\[a = \frac{{8 \pm \sqrt{{64 \cdot 3}}}}{{2}}\]

\[a = \frac{{8 \pm 8\sqrt{{3}}}}{{2}}\]

Задача про площу ромба здійснюється на заключному етапі. Оскільки ми знаємо одну сторону ромба (\(a\)), ми можемо використовувати формулу для площі ромба:

\[S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}\]

Знаючи умову, що одна діагональ на 8 см більша за іншу, ми можемо виразити діагоналі через сторону ромба:

\(d_1 = a\) і \(d_2 = a + 8\)

Тепер вставимо ці значення в формулу для площі:

\[S = \frac{{a \cdot (a + 8)}}{2}\]

Підставимо значення \(a = \frac{{8 + 8\sqrt{{3}}}}{{2}}\) вираховане раніше, і розрахуємо площу ромба:

\[S = \frac{{\frac{{8 + 8\sqrt{{3}}}}{{2}} \cdot \left(\frac{{8 + 8\sqrt{{3}}}}{{2}} + 8\right)}}{2}\]

\[S = \frac{{\frac{{8 + 8\sqrt{{3}}}}{{2}} \cdot \frac{{16 + 16\sqrt{{3}}}}{{2}}}}{2}\]

\[S = \frac{{(8 + 8\sqrt{{3}}) \cdot (16 + 16\sqrt{{3}})}}{8}\]

\[S = \frac{{(8 \cdot 16) + (8 \cdot 16\sqrt{{3}}) + (8\sqrt{{3}} \cdot 16) + (8\sqrt{{3}} \cdot 16\sqrt{{3}})}}{8}\]

\[S = \frac{{128 + 128\sqrt{{3}} + 128\sqrt{{3}} + 384}}{8}\]

\[S = \frac{{512 + 256\sqrt{{3}}}}{8}\]

\[S = \frac{{256 + 128\sqrt{{3}}}}{4}\]

\[S = 64 + 32\sqrt{{3}}\]

Отже, площа ромба зі стороною 20 см і діагоналю, що на 8 см більша за іншу, дорівнює \(64 + 32\sqrt{{3}}\) квадратних сантиметрів.