Яка площа трапеції, якщо більша діагональ ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на два відрізки: один

Lizonka

30

Для решения этой задачи посмотрим на рисунок:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & & A & & & \\
& & & \uparrow & & & \\
& & & \text{--} & & & \\
& & H & \text{---} & H & & \\
& \uparrow & \text{--} & & \text{--} & \uparrow & \\
B & \text{---} & O & & O & \text{---} & C \\
& \downarrow & \text{--} & & \text{--} & \downarrow & \\
& & \text{--} & & \text{--} & & \\
& & D & \text{---} & D & & \\
& & & \downarrow & & & \\
\end{array}
\]

В данной задаче нам дано, что большая диагональ (AC) делит высоту трапеции (HO) на две части. Одна часть высоты равна 20 см, а вторая часть равна 12 см. Также известно, что большая боковая сторона трапеции равна меньшей основе (AB).

Чтобы найти площадь трапеции, нам сначала нужно найти высоту. Если мы обозначим высоту как \(h\), то у нас есть два уравнения:

\[
h = 20 + 12 = 32
\]

Также, у нас есть теорема, согласно которой высота трапеции является средним геометрическим ее диагоналей. То есть:

\[
h = \sqrt{AC \cdot BD}
\]

Теперь мы можем записать уравнение для нахождения площади трапеции. Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на ее высоту:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h
\]

Учитывая, что \(AB = CD = x\), мы можем преобразовать уравнение:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (x + x) \cdot 32 = 32x
\]

Таким образом, площадь трапеции равна \(32x\). Остается лишь найти значение \(x\), чтобы найти окончательный ответ.

Мы знаем, что большая боковая сторона трапеции равна меньшей основе, поэтому \(CD = AB\). Подставив это в уравнение, получаем:

\[
32x = \frac{1}{2} \cdot (x + x) \cdot 32 = x \cdot 32
\]

Разделив обе части уравнения на 32, получаем:

\[
x = 1
\]

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

\[
S = 32x = 32 \cdot 1 = 32 \, \text{см}^2
\]

Таким образом, площадь трапеции равна 32 квадратных сантиметра.