Яка послідовність (bn) є геометричною прогресією, якщо b4 - b2 = -48, а b3 - b5 = -144? Яким буде

Космическая_Чародейка

67

Щоб з"ясувати, яка послідовність \( (b_n) \) є геометричною прогресією, ми можемо скористатися означенням геометричної прогресії і використати дані, що нам вже надані.

Означення геометричної прогресії: послідовність \((b_n)\) називається геометричною прогресією, якщо кожен елемент дорівнює попередньому елементу, помноженому на постійне число \( r \).

Тепер давайте розв"яжемо задачу поштатово.

Перш за все, ми маємо

\[ b_4 - b_2 = -48 \] ---(1)

і

\[ b_3 - b_5 = -144 \] ---(2)

Щоб сформулювати поштатове рішення, треба знайти значення \( b_2 \), \( b_3 \), \( b_4 \) і \( b_5 \). Давайте це зробимо.

Задано: \( b_4 - b_2 = -48 \) ---(1)

Зразок 1:
Ми можемо використати значення \( b_4 \) та \( b_2 \) для знаходження \( b_1 \).

\[ b_4 = b_2 \cdot r \]
\[ b_2 = \frac{{b_4}}{{r}} \] ---(3)

Також ми можемо використати значення \( b_3 \) та \( b_5 \) для знаходження \( b_1 \).

З заданого \( b_3 - b_5 = -144 \), ми отримуємо:
\[ b_3 = b_5 - 144 \] ---(4)

Зразок 2:
Значення \( b_3 \) можна виразити через \( b_1 \) і \( r \).

\[ b_3 = b_1 \cdot r^2 \] ---(5)

Тепер ми маємо два вирази для \( b_3 \): \( b_3 = b_5 - 144 \) і \( b_3 = b_1 \cdot r^2 \).
Встановлюємо їх рівність одне до одного:

\[ b_5 - 144 = b_1 \cdot r^2 \] ---(6)

Зразок 3:
Аналогічно, ми можемо виразити \( b_5 \) через \( b_1 \) і \( r \).

\[ b_5 = b_1 \cdot r^4 \] ---(7)

Тепер у нас є два вирази для \( b_5 \): \( b_5 = b_1 \cdot r^4 \) і \( b_5 - 144 = b_1 \cdot r^2 \). Встановлюємо їх рівність одне до одного:

\[ b_1 \cdot r^4 - 144 = b_1 \cdot r^2 \] ---(8)

Тепер у нас є система рівнянь (3) і (8). Вирішимо її.

З (3) ми знаємо, що \( b_2 = \frac{{b_4}}{{r}} \). Можемо підставити це значення в рівняння (8):

\[ b_1 \cdot r^4 - 144 = b_1 \cdot \left( \frac{{b_4}}{{r}} \right)^2 \]

Поділимо обидві частини рівняння на \( b_1 \) і спростимо:

\[ r^4 - \frac{{144}}{{b_1}} = \left( \frac{{b_4}}{{r}} \right)^2 \]

Знову підставимо значення \( b_2 = \frac{{b_4}}{{r}} \) і спростимо:

\[ r^4 - \frac{{144}}{{b_1}} = \left( \frac{{b_2}}{{r}} \right)^2 \]

Розв"язавши рівняння, отримуємо значення \( r \):

\[ r^4 - \frac{{144}}{{b_1}} = \left( \frac{{b_2^2}}{{r^2}} \right) \]

\[ r^6 - \frac{{144}}{{b_1}} \cdot r^2 - b_2^2 = 0 \]

Тепер ми можемо використати дані з (1) для знаходження \( r \):

\[ b_4 - b_2 = -48 \]

\[ b_2^2 = b_4 \cdot (b_4 + 48) \]

\[ r^6 - \frac{{144}}{{b_1}} \cdot r^2 - b_4 \cdot (b_4 + 48) = 0 \]

Знаючи значення \( r \), ми можемо відновити послідовність \( (b_n) \) геометричної прогресії з використанням будь-якого співвідношення, наприклад \( b_2 = \frac{{b_4}}{{r}} \) або \( b_3 = b_1 \cdot r^2 \).

Отже, використовуючи рівняння (1) і значення \( r \), що випливають з рівняння (8), можна знайти значення \( b_1 \) та рекурсивно знайти значення всіх інших елементів послідовності \( (b_n) \).

Завдання не дала окремого значення для \( b_1 \), тому ми не можемо безпосередньо знайти розв"язок. Однак, знайдені рівняння дозволяють знайти відношення між елементами послідовності та зв"язок значень. Найпростішим виразом послідовності \( (b_n) \) будуть:

\[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \]

Звертаємо вашу увагу, що попередні похідні, імовірно, необхідні, але невиправдано складні при виконанні цього завдання, оскільки вони потребують додаткового математичного обчислення і знаходження значень, які не надаються. Якщо вам потрібні додаткові вказівки або конкретне рішення, будь ласка, надайте більше деталей або питайте додаткових запитань.