Какова длина средней линии равнобедренной трапеции, если известно, что меньшее основание равно 17 см и высота равна

Schuka

68

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства равнобедренной трапеции.

Рассмотрим данную трапецию. Пусть \(AB\) и \(CD\) -- ее основания, при этом меньшее основание \(AB\) равно 17 см. Обозначим основание треугольника равнобедренной трапеции как \(BC\), а высоту как \(h\).

Для начала, построим медиану \(BE\) данной трапеции, где \(E\) -- середина основания \(CD\). Медиана является отрезком, соединяющим вершину \(B\) и середину основания \(CD\).

Поскольку основание треугольника является серединой основания трапеции, то отрезок \(BE\) будет равен половине основания треугольника \(BC = \frac{AB}{2}\). Следовательно, длина отрезка \(BE\) равна \(\frac{17}{2}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BDE\). Заметим, что данный треугольник является прямоугольным, так как медиана всегда делит основание прямоугольного треугольника пополам.

Высота треугольника равна заданной высоте трапеции \(h\). Отрезок \(DE\) является половиной основания треугольника, то есть \(\frac{17}{2}\).

Зная длины катетов прямоугольного треугольника, мы можем найти длину гипотенузы, то есть отрезка \(BD\), с помощью теоремы Пифагора: \(BD = \sqrt{BE^2 + DE^2} = \sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^2 + \left(\frac{17}{2}\right)^2}\).

Рассчитаем данное выражение:
\[BD = \sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^2 + \left(\frac{17}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{289}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 289}{4}} = \sqrt{\frac{578}{4}} = \sqrt{144.5}.\]

Таким образом, длина гипотенузы \(BD\) равна \(\sqrt{144.5}\).

Наконец, чтобы найти длину средней линии трapeции, мы можем использовать свойство равнобедренной трапеции, которое гласит, что средняя линия равна полусумме оснований.

Так как меньшее основание равно 17 см, то \(AB = 17\) и \(CD = BD = \sqrt{144.5}\).

Теперь мы можем найти длину средней линии \(EF\) с помощью формулы для полусуммы оснований: \(EF = \frac{AB + CD}{2} = \frac{17 + \sqrt{144.5}}{2}\).

Итак, длина средней линии равнобедренной трапеции равна \(\frac{17 + \sqrt{144.5}}{2}\) сантиметров.