Яка швидкість набуває школяр, коли він, масою 50 кг, стоїть на гладенькому льоду і кидає ядро масою 5 кг під кутом

Magicheskiy_Tryuk

61

Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы сохранения количества движения и момента импульса.

Для начала найдем начальную скорость ядра в горизонтальном и вертикальном направлениях. Для этого воспользуемся тригонометрией и разложим начальную скорость на составляющие. Горизонтальная скорость \(v_{x0}\) равна \(v_0 \cdot \cos \alpha\), а вертикальная скорость \(v_{y0}\) равна \(v_0 \cdot \sin \alpha\). Здесь \(v_0\) - начальная скорость ядра, а \(\alpha\) - угол между начальной скоростью и горизонтом.

Теперь запишем закон сохранения количества движения в горизонтальном направлении. Так как горизонтальная компонента скорости ядра не изменяется после броска, то ее масса умноженная на начальную скорость равна массе школьника умноженной на конечную скорость школьника в горизонтальном направлении. Имеем \(m_1 \cdot v_{x0} = m_2 \cdot v_{x2}\), где \(m_1\) - масса ядра, \(v_{x2}\) - конечная скорость школьника в горизонтальном направлении.

Теперь запишем закон сохранения количества движения в вертикальном направлении. Вертикальная компонента скорости школьника изменится из-за отдания импульса ядру. Имеем \(m_{\text{шк}} \cdot 0 = m_{\text{шк}} \cdot v_{y2} + m_{\text{ядр}} \cdot (-v_0 \cdot \sin \alpha)\), где \(v_{y2}\) - конечная скорость школьника в вертикальном направлении.

Теперь найдем конечные скорости школьника в горизонтальном и вертикальном направлениях. Из первого уравнения получаем \(v_{x2} = \frac{{m_{\text{шк}} \cdot v_{x0}}}{{m_{\text{ядр}}}}\), а из второго уравнения находим \(v_{y2} = -\frac{{m_{\text{ядр}} \cdot v_0 \cdot \sin \alpha}}{{m_{\text{шк}}}}\).

Теперь найдем модуль конечной скорости школьника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: \(v_2 = \sqrt{{v_{x2}}^2 + {v_{y2}}^2}\).

Итак, отправимся к вычислениям. Масса школьника \(m_{\text{шк}}\) равна 50 кг, масса ядра \(m_{\text{ядр}}\) равна 5 кг, начальная скорость ядра \(v_0\) равна 8 м/с, угол \(\alpha\) равен 60°.

Вычислим горизонтальную и вертикальную скорости ядра:
\(v_{x0} = 8 \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\) м/с
\(v_{y0} = 8 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) м/с

Теперь найдем конечные скорости школьника:
\(v_{x2} = \frac{{m_{\text{шк}} \cdot v_{x0}}}{{m_{\text{ядр}}}} = \frac{{50 \cdot 4}}{{5}} = 40\) м/с
\(v_{y2} = -\frac{{m_{\text{ядр}} \cdot v_0 \cdot \sin \alpha}}{{m_{\text{шк}}}} = -\frac{{5 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}}}{50} = -\frac{{8\sqrt{3}}}{5}\) м/с

Наконец, найдем модуль конечной скорости школьника:
\(v_2 = \sqrt{{v_{x2}}^2 + {v_{y2}}^2} = \sqrt{{40}^2 + {\left(-\frac{{8\sqrt{3}}}{5}\right)}^2} = \sqrt{1600 + \frac{{192}}{5}} = \sqrt{\frac{{8000 + 192}}{5}} = \sqrt{\frac{{8192}}{5}} = \sqrt{1638.4} \approx 40.47\) м/с

Итак, школьник будет иметь конечную скорость около 40.47 м/с.