Яка швидкість руху води в трубі з радіусом перерізу 10 см, якщо дві труби з радіусами перерізу 4 і 6 см з єднуються?

Zayac

3

Для решения этой задачи, нам понадобится применить закон сохранения массы. Согласно этому закону, количество вещества, проходящего через одну точку системы в течение определенного времени, должно быть равным количеству вещества, проходящего через другую точку системы.

Первым шагом, нам нужно найти скорость воды в трубе с радиусом 10 см. Для этого, мы будем использовать уравнение непостоянного потока жидкости, которое гласит:

\[v_1 \cdot A_1 = v_2 \cdot A_2\]

где \(v_1\) - скорость воды в первой трубе, \(A_1\) - площадь поперечного сечения первой трубы, \(v_2\) - скорость воды во второй трубе и \(A_2\) - площадь поперечного сечения второй трубы.

Известно, что площадь поперечного сечения трубы может быть выражена через радиус следующим образом:

\[A = \pi \cdot r^2\]

Таким образом, площадь поперечного сечения первой трубы равняется:

\[A_1 = \pi \cdot (4 \, см)^2\]

Площадь поперечного сечения второй трубы равняется:

\[A_2 = \pi \cdot (6 \, см)^2\]

Подставив значения в формулу, получим:

\[v_1 \cdot \pi \cdot (4 \, см)^2 = v_2 \cdot \pi \cdot (6 \, см)^2\]

Теперь, чтобы найти скорость движения воды в трубе с радиусом 10 см, нам нужно решить это уравнение относительно \(v_1\). Поделим обе части уравнения на \(\pi \cdot (4 \, см)^2\):

\[v_1 = \frac{{v_2 \cdot \pi \cdot (6 \, см)^2}}{{\pi \cdot (4 \, см)^2}}\]

Упрощая формулу, получаем:

\[v_1 = \frac{{v_2 \cdot (6 \, см)^2}}{{(4 \, см)^2}}\]

Теперь, нам нужно найти скорость движения воды во второй трубе \(v_2\). Для этого, мы можем использовать то же самое уравнение, но с другими значениями площадей поперечных сечений первой и второй труб:

\[v_2 \cdot \pi \cdot (4 \, см)^2 = v_1 \cdot \pi \cdot (10 \, см)^2\]

Подставив значения и упростив, получаем:

\[v_2 = \frac{{v_1 \cdot \pi \cdot (10 \, см)^2}}{{\pi \cdot (4 \, см)^2}}\]

Упрощая формулу, получаем:

\[v_2 = \frac{{v_1 \cdot (10 \, см)^2}}{{(4 \, см)^2}}\]

Теперь, мы можем подставить найденное значение \(v_1\) в выражение для \(v_2\) и получить итоговый ответ. Подставим значение \(v_1\):

\[v_2 = \frac{{\left(\frac{{v_2 \cdot (6 \, см)^2}}{{(4 \, см)^2}}\right) \cdot (10 \, см)^2}}{{(4 \, см)^2}}\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[v_2 = \frac{{v_2 \cdot (6 \, см)^2 \cdot (10 \, см)^2}}{{(4 \, см)^2 \cdot (4 \, см)^2}}\]

\[v_2 = \frac{{v_2 \cdot 36 \, см^2 \cdot 100 \, см^2}}{{16 \, см^2 \cdot 16 \, см^2}}\]

\[v_2 = \frac{{v_2 \cdot 36 \, см^2 \cdot 100 \, см^2}}{{256 \, см^4}}\]

\[v_2 \cdot 256 \, см^4 = v_2 \cdot 36 \, см^2 \cdot 100 \, см^2\]

Теперь, деля обе части уравнения на \(v_2\), получаем:

\[256 \, см^4 = 36 \, см^2 \cdot 100 \, см^2\]

После решения этого уравнения, получим:

\[v_2 = 9,375 \, см/с\]

Таким образом, скорость движения воды в трубе с радиусом 10 см будет примерно равна 9,375 см/с.