Яка сторона правильного трикутника, що описує коло, яке вписано в квадрат зі стороною

Lyudmila

48

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах правильных треугольников и кругов, а также о связи между правильным треугольником и вписанным в него кругом.

Давайте начнем с построения схемы задачи:

Пусть у нас есть квадрат со стороной \(a\). Будем искать сторону правильного треугольника, описанного вокруг этого квадрата. Предположим, что такой треугольник имеет сторону \(x\).

По свойству правильного треугольника, все его стороны равны, поэтому \(x\) - это длина стороны треугольника, которая будет равна и радиусу вписанного в этот треугольник круга (обозначим его \(r\)).

Теперь возникает вопрос, каким образом можно выразить сторону квадрата через радиус круга? Обратимся к геометрическим свойствам вписанных в круг треугольников.

Рассмотрим правильный треугольник и вписанный в него круг. Найдем высоту \(h\) этого треугольника, которая проведена к основанию треугольника.

Поскольку треугольник является равносторонним, высота будет равна \(\frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot x\).

Также, посредством радиуса можно выразить высоту треугольника. В равнобедренном треугольнике вписанного в круг рассмотрим один из прямых углов, образованных высотой. Пусть высота является медианой данного треугольника.

Применим теорему Пифагора к получившемуся прямоугольному треугольнику: \((\frac{x}{2})^2 + h^2 = x^2\).

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(\frac{x^2}{4} + (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x)^2 = x^2\).

Далее приведем всё к общему знаменателю и упростим:

\(\frac{x^2}{4} + \frac{3x^2}{4} = x^2\).

В итоге получаем:

\(\frac{4x^2}{4} = x^2\).

Упрощаем выражение:

\(x^2 = x^2\).

Таким образом, мы видим, что \(x\) на самом деле равно \(x\). Это означает, что сторона правильного треугольника, описывающего круг, вписанный в квадрат, равна длине стороны квадрата.

Поэтому ответ на задачу - сторона квадрата.

\[Ответ: a\]