Яка є сума всіх натуральних чисел, що є кратними 8 і не перевищують?

Vintik

67

Щоб знайти суму всіх натуральних чисел, які є кратними 8 і не перевищують заданого числа, ми можемо скористатися формулою для суми арифметичної прогресії.

Знайдемо кількість елементів у цій прогресії, де останній елемент - це найбільше число, яке не перевищує задане число \(n\). Для цього ми можемо використати нерівність \(8k \leq n\), де \(k\) - це кількість елементів.

Розв"яжемо цю нерівність:
\[8k \leq n\]
\[k \leq \frac{n}{8}\]

Заокруглимо це число вниз до найближчого цілого, оскільки кількість елементів повинна бути цілим числом. Позначимо цей результат як \(m\).

Отже, у даній прогресії є \(m\) елементів. Найбільше число в цій прогресії - це \(8m\).

Тепер ми можемо використати формулу для суми арифметичної прогресії, яка залежить від першого елемента \(a_1\), кількості елементів \(n\) і останнього елемента \(L\):
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + L)\]

Перший елемент \(a_1 = 8\) (так як воно є першим кратним числом 8), кількість елементів \(n = m\), останній елемент \(L = 8m\).

Підставимо ці значення в формулу:
\[S = \frac{m}{2}(8 + 8m)\]
\[S = 4m(1 + m)\]
\[S = 4m + 4m^2\]

Таким чином, сума всіх натуральних чисел, які є кратними 8 і не перевищують заданого числа \(n\), може бути обчислена за формулою \(S = 4m + 4m^2\), де \(m = \left\lfloor\frac{n}{8}\right\rfloor\). Замість \(\left\lfloor\frac{n}{8}\right\rfloor\) вставте частину цілої частини числа \(n\) при діленні на 8.

Наприклад, якщо \(n = 40\), то ми маємо:
\(m = \left\lfloor\frac{40}{8}\right\rfloor = 5\)
\(S = 4(5) + 4(5^2) = 20 + 100 = 120\)

Отже, сума всіх натуральних чисел, що є кратними 8 і не перевищують 40, дорівнює 120.