Яка величина другого члена геометричної прогресії (bn), якщо b5=25 та b6=125?

Putnik_Po_Vremeni

7

Дано: \(b_5 = 25\) и \(b_6 = 125\).

Для решения этой задачи нам необходимо найти формулу для общего члена геометрической прогрессии, а затем использовать ее для определения значения \(b_n\), где \(n\) - номер члена прогрессии, который мы хотим найти.

Общая формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где \(b_1\) - первый член прогрессии, а \(r\) - общий знаменатель.

Мы знаем, что \(b_5 = 25\) и \(b_6 = 125\). Мы можем использовать это для определения значения \(b_1\) и \(r\).

Из соотношения \(b_5 = b_1 \cdot r^{(5-1)}\) мы можем найти \(b_1\):

\[25 = b_1 \cdot r^4\]

Аналогично, из соотношения \(b_6 = b_1 \cdot r^{(6-1)}\) мы можем найти \(r\):

\[125 = b_1 \cdot r^5\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (\(b_1\) и \(r\)). Мы можем решить эту систему уравнений.

Делая отношение второго уравнения к первому, мы получаем:

\[\frac{{125}}{{25}} = \frac{{b_1 \cdot r^5}}{{b_1 \cdot r^4}}\]

\[\frac{{5^3}}{{5^2}} = r\]

\[5 = r\]

Теперь мы можем использовать полученное значение \(r = 5\) для нахождения \(b_1\) из первого уравнения:

\[25 = b_1 \cdot 5^4\]

Выразим \(b_1\):

\[b_1 = \frac{{25}}{{5^4}} = \frac{{25}}{{625}} = \frac{{1}}{{25}}\]

Теперь мы можем использовать найденные значения \(b_1\) и \(r\) для определения значения \(b_n\), которое мы хотим найти (другой член геометрической прогрессии):

\[b_n = \frac{{1}}{{25}} \cdot 5^{(n-1)}\]

Ответ: \(b_n = \frac{{5^{(n-1)}}}{{25}}\)