Яка висота конуса, якщо розтину конуса становить 8 см, а кут між розтинами і висотою дорівнює 30°?

Zayac

59

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать геометрические свойства конуса и тригонометрию. Давайте последовательно пройдем все необходимые шаги.

1. Начнем с определения основной теоремы о высоте прямой призмы. В нашем случае конус является прямой призмой, так как основание конуса является кругом, и все его плоскости сечений сопряжены.
Согласно основной теореме о высоте прямой призмы, у которой радиус основания равен \( r \), касательная к основанию под углом \( \alpha \) с высотой равна \( h \).

2. По условию задачи, у нас есть круговое основание конуса с радиусом \( r = 8 \) см. Кут между основанием конуса и его высотой составляет \( 30^\circ \).

Теперь мы можем приступить к расчетам:
- Косинус угла \( \alpha \), который соответствует куту между основанием и высотой, равен \( \cos(\alpha) = \frac{r}{h} \).
- Мы знаем, что \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), так как это одно из стандартных значений для косинуса угла 30 градусов.

3. Теперь, чтобы найти высоту конуса \( h \), мы можем использовать формулу \( h = \frac{r}{\cos(\alpha)} \).

Подставляя известные значения, получаем:
\( h = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \) см.

Таким образом, высота конуса составляет \( \frac{16}{\sqrt{3}} \) см.