Яка ймовірність того, що 2 хлопці та 2 дівчини отримають 4 білети в театр, які розігрують 5 хлопців та 3 дівчини?

Vladislav

50

Чтобы решить задачу, мы можем использовать комбинаторику. Предположим, что все билеты различны, то есть каждый билет имеет свой уникальный номер.

Количество способов выбрать 2 мальчика из 5 мальчиков равно \(\binom{5}{2}\), где \(\binom{n}{k}\) обозначает количество сочетаний из n элементов по k элементов. По формуле сочетаний, \(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\). То есть, у нас есть 10 способов выбрать 2 мальчиков.

Аналогично, количество способов выбрать 2 девочки из 3 девочек равно \(\binom{3}{2}\). По формуле сочетаний, \(\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3\). То есть, у нас есть 3 способа выбрать 2 девочки.

Так как выбор мальчиков и выбор девочек являются независимыми событиями, мы можем использовать правило умножения для определения общего количества исходов. Поэтому, общее количество способов выбрать 2 мальчика и 2 девочки равно \(10 \cdot 3 = 30\).

Теперь нам нужно определить общее количество способов выбрать 4 билета из 8 билетов (5 билетов от мальчиков и 3 билета от девочек). Для этого мы можем использовать \(\binom{8}{4}\). По формуле сочетаний, \(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70\).

Итак, общее количество возможных исходов равно 70. Чтобы найти вероятность того, что 2 мальчика и 2 девочки получат 4 билета, мы должны разделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов. То есть, вероятность равна \(\frac{30}{70} = \frac{3}{7}\).

Таким образом, вероятность того, что 2 мальчика и 2 девочки получат 4 билета в театр, составляет \(\frac{3}{7}\) или примерно 0.428571.