Яка ймовірність виграти два з п яти навмання вибраних білетів із загальної кількості білетів, де 8 з них є виграшними

Солнечная_Луна

1

Для решения данной задачи, нам необходимо определить количество способов выбрать два выигрышных билета из общего числа билетов.

Используем комбинаторику. Количество способов выбрать два выигрышных билета из 8-ми можно выразить через биномиальный коэффициент \(C_2^8\).

Запишем формулу для биномиального коэффициента:

\[ C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) - факториал числа n, который равен произведению всех чисел от 1 до n.

Подставим значения в формулу:

\[ C_2^8 = \frac{8!}{2!(8-2)!} \]

Вычислим факториалы:

\[ 2! = 2 \]
\[ (8-2)! = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \]

Подставим значения в формулу:

\[ C_2^8 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \]

Таким образом, количество способов выбрать два выигрышных билета из 8-ми равно 28.

Теперь мы можем рассчитать вероятность выиграть два из пяти билетов. Вероятность выигрыша одного билета равна отношению числа выигрышных билетов к общему числу билетов:

\[ P(\text{выигрыш}) = \frac{\text{количество способов выбрать 2 выигрышных билета}}{\text{общее количество способов выбрать 5 билетов}} \]

Общее количество способов выбрать 5 билетов равно биномиальному коэффициенту \(C_5^{50}\):

\[ C_5^{50} = \frac{50!}{5!(50-5)!} \]

Вычислим факториалы:

\[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \]
\[ (50-5)! = 45! = 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

Подставим значения в формулу:

\[ C_5^{50} = \frac{50!}{5!(50-5)!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5! \cdot (45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} \]

Итак, вероятность выиграть два из пяти билетов равна:

\[ P(\text{выигрыш}) = \frac{C_2^8}{C_5^{50}} = \frac{28}{\frac{50!}{5!(50-5)!}} \]

Осталось только рассчитать данное выражение.