Яке відношення існує між об ємами цих кубів, якщо одне ребро куба дорівнює діагоналі грані іншого куба?

Nikolaevna

1

Давайте розглянемо дану задачу про взаємозв"язок обсягів кубів, де одне ребро куба дорівнює діагоналі грані іншого куба.

Нехай \(a\) буде довжиною ребра першого куба, а \(d\) - діагоналлю грані другого куба. Зауважте, що діагональ грані куба є гіпотенузою прямокутного трикутника зі сторонами, рівними довжинам сторін грані. Оскільки грань другого куба є квадратом, то у прямокутному трикутнику, що утворений діагоналлю, сторони мають довжину \(d\) і \(\frac{d}{\sqrt{2}}\).

Тому, щоб знайти обсяг першого куба, ми можемо використати відомі формули для обсягу куба: \(V_1 = a^3\).

Аби знайти обсяг другого куба, ми повинні обчислити довжину його ребра. Оскільки відома діагональ грані цього куба, ми можемо скористатися відомим співвідношенням між діагоналлю куба та довжиною його ребра (\(d = a \cdot \sqrt{2}\)), та розв"язати щодо \(a\). Відповідно, довжина ребра другого куба буде: \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\). Тоді обсяг другого куба становитиме: \(V_2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{d^3}{2\sqrt{2}}\).

Отже, ми знайшли залежність між об"ємами двох кубів. Об"єм першого куба \(V_1\) буде дорівнювати \(a^3\), а об"єм другого куба \(V_2\) буде дорівнювати \(\frac{d^3}{2\sqrt{2}}\).

Наприклад, якщо задана діагональ грані другого куба, скажімо \(d = 5\), то ми можемо обчислити обсяги кубів:

\(V_1 = a^3 = (5\sqrt{2})^3 = 250\sqrt{2}\)

\(V_2 = \frac{d^3}{2\sqrt{2}} = \frac{5^3}{2\sqrt{2}} = \frac{125}{2\sqrt{2}}\)

Отже, залежність між об"ємами кубів обумовлена співвідношенням між ребром одного куба та діагоналлю грані другого куба.