Яке є відношення мас тіл, що коливаються, якщо періоди коливань пружинних маятників відносяться як 2/3?

Valeriya

42

Для розв"язання цієї задачі, нам необхідно використовувати фізичний закон, що визначає період коливань пружинного маятника. Закон стверджує, що період коливань \(T\) пружинного маятника залежить від його маси \(m\) та характеристик пружини \(k\) та \(l\) (констант пружності та довжини, відповідно) за формулою:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Тут \(G\) - гравітаційна стала, яка дорівнює приблизно 9,8 м/с². Оскільки наші маятники мають однакові пружини, тобто однакові коефіцієнти пружності \(k\) та довжини \(l\), ці параметри необов"язково залучати до розв"язання.

Ми маємо відношення періодів коливань маятників: \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{3}\), де \(T_1\) - період першого маятника, а \(T_2\) - період другого маятника.

Заставляємо дві рівності за формулою:

\[\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sqrt{\frac{m_1}{k}}}{\sqrt{\frac{m_2}{k}}}\]

Розділяємо обидві частини рівняння, щоб виразити відношення мас тіл:

\[\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}\]

Підносимо обидві частини рівняння до квадрату, щоб отримати вираз для відношення мас:

\[\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \frac{m_1}{m_2}\]

Замінюємо відоме відношення періодів коливань \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{3}\):

\[\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{m_1}{m_2}\]

Розв"язуємо це рівняння для \(m_1\):

\[\frac{4}{9} = \frac{m_1}{m_2}\]

Множимо обидві частини рівняння на \(m_2\), щоб виразити масу першого тіла \(m_1\):

\[m_1 = \frac{4}{9} \cdot m_2\]

Отже, відношення мас тіл, що коливаються, буде \(m_1 : m_2 = \frac{4}{9}\).

Це означає, що маса першого тіла \(m_1\) буде дорівнювати \(\frac{4}{9}\) від маси другого тіла \(m_2\).

Сподіваюся, що ця детальна відповідь допомогла вам зрозуміти відношення мас тіл, які коливаються! Якщо у вас є ще які-небудь запитання, будь ласка, зверніться до мене!